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中学1年数学 立体の表面積と体積 練習問題4 解答・解説

おうぎ形

中学1年数学 立体の表面積と体積 練習問題4 解答・解説


  図のような直角三角形ABCを、直線ACを軸として1回転させてできる立体について、


 次の問いに答えてください。



(1)表面積を求めてください。


  まずは、この直角三角形を回転させると、どのような立体になるかです。


  ACを中心に回転させるのですから、できる立体は円錐になります。


  円錐の表面積を求める式


  (円錐の表面積)(底面積)+(側面積)


  になります。


  まずは、底面積を求めていきます。


   底面積は、になりますから


   円の面積を求める式は


  (円の面積)=πγ²


   半径は、3cm


  (円の面積)=(半径)×(半径)×π


       =3cm×3cm×π


       =9πcm²


   次に、側面積を求めます。


  側面積は、おうぎ形になりますから


   (側面積)(おうぎ形)


  おうぎ形の面積を求める式


  (おうぎ形の面積)πγ²×中心角/360


  このままでは、中心角がわかりませんから。


  おうぎ形の弧の長さと、底面の円の周の長さが等しいので


  (おうぎ形の弧の長さ)(底面の円の周の長さ)


  それぞれの式は


   (2πγ×中心角/360)(2πγ)


  おうぎ形の半径はABの長さになりますから、5cmになります


   中心角はわかりませんからχにします。


   底面の円の半径は、3cmになります


    それでは考えていきましょう。


   (2×5cm×π×χ/360)(2×3×π)


    πχ/36=6π


   両辺に1/πをかけます


    1/π×πχ/36=1/π×6π


   次に両辺に36をかけます


   36×1/π×πχ/36=1/π×36×6π


          χ=216゜


    これで中心角がわかりました。


  それではおうぎ形の面積を求めましょう。


  (おうぎ形の面積)πγ²×中心角/360


   おうぎ形の半径は、5cm


   中心角は216゜


  (おうぎ形の面積)=(半径)×(半径)×π×中心角/360


          =5cm×5cm×π×216/360


          =25π×3/5


          =15πcm²


   (円錐の表面積)(底面積)+(側面積)


          =9πcm²+15πcm²


          =24π?²


  円錐の表面積がわかりました。


 


     答え  24π?²


  
(2)体積を求めてください。


  円錐の体積を求める式


  V=1/3Sh


  (円錐の体積)=1/3×(底面積)×(高さ)


  底面積は、(1)で、9πcm²とわかりましたから。


  高さです、高さは4cmになっています


  (円錐の体積)=1/3×9πcm²×4cm


        =12πcm³



    答え 12πcm³


 


(3)直線BCを軸にできた立体は、底面積の半径が4cm、高さが3cmの円錐になります。



  円錐の体積は、


  (円錐の体積)1/3×(底面積)×(高さ)


   底面積は、円の面積ですから


   (円の面積)=πγ²


        =(半径)×(半径)×π       


        =4×4×π


        =16π?²


   高さは、3cmですから


   (円錐の体積)=1/3×16π?²×3cm


         =16π?³


   になります。


   (2)の円錐の体積は12πcm³


   (3)の円錐の体積は16πcm³


   ですから


  (3)(2)=(体積の差)


    16π?³−12π?³=(体積の差)


            =4π?³


 



    答え 4π?³


 


 

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