中学2年数学　式と計算　２まとめテスト４・解答

中学2年数学　式と計算　２まとめテスト４・解答

４、次の問いに答えてください。

（１）3桁の整数で、百の位の数と一の位の数を入れ替えてできる整数と、もとの整数との差は9の倍数である。その理由を文字を用いて説明してください。

【解答・解説】

  　　元の整数の百の位の数をａ

　　　　　　　     　十の位の数をｂ

　　　　　　　     　一の位の数をｃ

　　　とすると、

　　　(100×ａ)＋(10×ｂ)＋(c)

　　になります。

　　これを元に、aとｃを入れ替えます。

　　(100×c)＋(10×ｂ)＋(ａ)

　　もとの整数との差は9の倍数をたずねていますから。

　　｛(100×ａ)＋(10×ｂ)＋(c)}　−　{(100×c)＋(10×ｂ)＋(ａ)｝

　　＝（100ａ＋10ｂ＋c)　−　(100c＋10ｂ＋ａ)

　　＝100ａ＋10ｂ＋c　−　100c−10ｂ−ａ

　　＝100ａ−ａ＋10ｂ−10ｂ−100c＋c

　　＝99ａ−99c

　　＝99(ａ−c)

　　　
　　　ａ−c　は整数ですから

　　99(整数)

　　ですから、9×11(整数)で、

　　9の倍数ということがわかります。

　　　よって、2つの整数の差は9の倍数となります。

（２）11+13＝24、21+23＝44など、連続する2つの奇数の和は4で割り切れます。その理由を文字を用いて説明してください。

【解答・解説】

　　　mを整数とすると、連続する2つの奇数は、

　　2m＋1と2m＋3になります。(偶数は2×(整数m)ですから、偶数に1、3を加えれば奇数になります。)　　

　　たずねているのは、連続する2つの奇数の和は4で割り切れるか？

　　ですから、

　　（2m＋1）＋（2m＋3）

　　＝2m＋1＋2m＋3

　　＝2m＋2m＋1＋3

　　＝4m＋4

　　＝4(m＋1)

　　　mは整数ですから

　　4(整数)で4の倍数になりますから、4で割り切れます。

　　　よって、連続する2つの奇数の和は4で割り切れることがわかります。

（３）5＋8＝13，11＋20＝31のように、3で割ると2余るような2つの整数の和は、3で割ると1余ります。その理由を文字を用いて説明してください。

　　m、n　を整数とします。

【解答・解説】

　　3で割ると2余るように、m、nで表すと。

　　　5÷3＝1・・・2

　　　8÷3＝2・・・2

　　　11÷3＝3・・・2

　　　20÷3＝6・・・2

　　　m÷3＝3m＋2

　　ですから

　　　(3m＋2)、(3n＋2)で表すことができます。

　　　たずねているのは、3で割ると2余るような2つの整数の和は、3で割ると1余るのか？です、

　　　(3m＋2)＋(3n＋2)

　　　＝3m＋2＋3n＋2

　　　＝3m＋3n＋2＋2

　　　＝3m＋3n＋4

　　　＝3(m＋n＋1)＋1

　　になります。

　　　(m＋n＋1)　は整数になりますから、

　　3(整数)＋1

　　になりますから、3で割ると2余るような2つの整数の和は、3で割ると1余ることがわかります。