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中学3年数学 関数y=ax²の値の変化2 確認問題2・解答

二次関数

中学3年数学 関数y=ax²の値の変化 2確認問題2

 

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2、次の図は、関数 \displaystyle y= \frac{1}{2} x^{2} のグラフになります。このとき、次の問いに答えてください。

(1) x が p から p+2 まで増加するときの変化の割合は5になります。このとき、pの値を求めてください。

yの増加量
 変化の割合――――――
χの増加量

\displaystyle y= \frac{1}{2} x^{2}  に x = px=p+2 を代入します。

\displaystyle y=\frac{1}{2} (p)^{2} \displaystyle y=\frac{1}{2} (p+2)^{2}

乗法公式を利用して展開をします。

 \displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}  \displaystyle (p+2)^{2}=p^{2}+2\times p\times 4+4^{2}  \displaystyle =p^{2}+4p+4  \displaystyle y= \frac{1}{2}(p^{2}+4p+4 )

xの増加量

 \displaystyle (p+2)-p=2

yの増加量

 \displaystyle \frac{1}{2}(p^{2}+4p+4 )- \frac{1}{2}p^{2}= \frac{1}{2}p^{2}+ \frac{4}{2}p+\frac{4}{2}- \frac{1}{2}p^{2}  \displaystyle =2p+2

変化の割合5ですから、

 \displaystyle \frac{2p+2}{2}=5  \displaystyle p+1=5  \displaystyle p=4

答え 4

(2)\displaystyle y= \frac{1}{2} x^{2}のグラフ上に\displaystyle A(-1,\frac{1}{2})\displaystyle B(4,8)\displaystyle x座標が正である\displaystyle Cの3点をとります。また、\displaystyle y軸上の正の部分に点\displaystyle Dをとります四角形\displaystyle ABCDが平行四辺形になるときの点\displaystyle C\displaystyle Dの座標を求めてください。

\displaystyle y= \frac{1}{2} x^{2}のグラフ上には3点\displaystyle A,B,Cがあり、y軸上には点\displaystyle Dがあります。

平行四辺形は2つの対角線が中点で交わりますから、点Aと点Bをつなぐ直線の中点を求めます。

\displaystyle A(-1,\frac{1}{2})\displaystyle B(4,8)の半分の位置が中点となります。尚、2点の中点は、x座標、y座標それぞれの距離の平均に位置します。

 \displaystyle \frac{4-1}{2},\frac{8+\frac{1}{2}}{2}

 \displaystyle \frac{3}{2},\frac{17}{4}

直線AB中点の座標は \displaystyle (x, y)=(\frac{3}{2}),(\frac{17}{4}) とわかりました。

そして、平行四辺形の
対角線は中点で交わりますから、

、点を結ぶ直線の中点も\displaystyle (x, y)=(\frac{3}{2}),(\frac{17}{4})になります。

の座標は\displaystyle (c, \frac{1}{2}c^{2})、点の座標は\displaystyle (0, d)になります。

χ座標

 \displaystyle \frac{c+0}{2}=\frac{3}{2}  \displaystyle c=3

y座標

 \displaystyle \frac{\frac{1}{2}c^{2}+d}{2}=\frac{17}{4}  \displaystyle c^{2}+2d=17

 \displaystyle c=3を代入します。

 \displaystyle 3^{2}+2d=17  \displaystyle 2d=8  \displaystyle d=4

Cのy座標は\displaystyle \frac{1}{2}c^{2}なので、ここに\displaystyle c=3を代入します。

 \displaystyle y=\frac{1}{2}3^{2}  \displaystyle y=\frac{9}{2}

答え 点の座標は \displaystyle (x, y) = (3, \frac{9}{2})、点の座標は \displaystyle (x, y) = (0, 4)

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