中学２年数学 平面図形 まとめテスト３・解答
３、∠Ａ＝90°、ＡＢ＝ＡＣである直角三角形ＡＢＣがあります。
∠Ｂの二等分線が辺ＡＣと点Ｄで交わり、Ｄから辺ＢＣに垂線ＤＥを引くとき、ＡＤ＝ＥＣであることを証明してください。
答え 
〔証明〕
△ＡＢＤと△ＥＢＤにおいて
仮定より
∠ＤＡＢ（90°）＝∠ＤＥＢ（90°）
ですから直角三角形になります。
辺ＢＤは共通・・・・①
∠ＡＢＤ＝∠ＥＢＤ・・・・②
直角三角形ですから、
①、②より
斜辺とその他の角がそれぞれ等しくなりますから
△ＡＢＤ≡△ＥＢＤ
になります。
合同な三角形の対応する辺はそれぞれ等しくなりますから
ＡＤ＝ＥＤ・・・・③
になります。
つぎに△ＥＣＤについて考えます。
∠ＤＥＣは仮定により90°になります。
∠ＤＥＣ＝90°・・・・④
∠ＥＣＤは△ＡＢＣの∠ＢＣＡと同じになります。
△ＡＢＣは二等辺三角形で、∠ＢＣＡは、45°ですから、
∠ＥＣＤ＝45°となり
∠ＣＤＥ＝180°ー（90°＋45°）
＝45°
∠ＣＤＥ＝∠ＥＣＤ
となり、△ＥＣＤは二等辺三角形になります。
二等辺三角形の頂角Ｅを挟む２つの辺ＥＤと辺ＥＣが等しいことがわかります。
ＥＤ＝ＥＣ・・・・⑤
③、⑤より
ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＣ
になり
ＡＤ＝ＥＣになります。
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