中学2年数学　平面図形　平行線と面積　確認問題４・解答

中学2年数学　平面図形　平行線と面積　確認問題４・解答

４、平行四辺形ABCDにおいて、点Pを図のようにするとき、平行四辺形ABCDの面積と、△APD＋△BPCの面積の比を求めてください。

（１）△ＡＰＢと△ＡＰＤにおいて

ＡＢＣＤは平行四辺形で、ＢＤ、ＡＣの２直線は対角線になります。

対角線の交点はそれぞれの直線の中点で交わりますから、

ＢＰとＤＰは同じ長さになります。

ＢＰ＝ＤＰ・・・①

ＢＤから点Ａに垂線を引きます、ＢＤに交わる点をＥとします。

三角形の面積は、

（底辺）×（高さ）÷２ですから

△ＡＢＰ＝ＢＰ×ＡＥ÷２・・・②

△ＡＤＰ＝ＰＤ×ＡＥ÷２・・・③

②、③より

△ＡＢＰ≡△ＡＤＰ

同じように△ＢＰＣと△ＤＰＣにおいて

ＢＤから点Ｃに垂線を引きます、ＢＤに交わる点をＦとします。

△ＢＰＣ＝ＢＰ×ＣＦ÷２・・・④

△ＤＰＣ＝ＤＰ×ＣＦ÷２・・・⑤

④、⑤より

△ＢＰＣ≡△ＤＰＣ

△ＡＢＰ＝△ＡＤＰ＝△ＢＰＣ＝△ＤＰＣ

ということになります。

△を１と考えると

平行四辺形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＰ＋△ＡＤＰ＋△ＢＰＣ＋△ＤＰＣ は、

＝１＋１＋１＋１

＝４

△ＡＰＤ＋△ＢＰＣ＝１＋１

 

＝２

平行四辺形ＡＢＣＤ：△ＡＰＤ＋△ＢＰＣ＝４：２

＝２：１

（２）△ＡＰＤと△ＢＰＣの面積は、（底辺）×（高さ）÷２ですから

点ＤからＡＢの延長線上に垂線Ｅをつくります。

そうすると、この直線ＤＥは△ＡＰＤと△ＢＰＣの共通の高さになります。

底辺になるＡＰとＢＰの長さは辺ＡＢですから

ＡＰ＋ＢＰ＝ＡＢ

になります。

そうすると、

△ＡＰＤ＋△ＢＰＣの面積と△ＡＢＤの面積は底辺、高さが同じ三角形の面積になります。

△ＡＰＤ＋△ＢＰＣ＝△ＡＢＤ

ですから、△ＡＢＤの面積で考えます。

辺ＢＤは平行四辺形ＢＤの対角線になりますから、

△ＡＢＤと△ＣＢＤは等しい三角形になりますから

平行四辺形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＤ＋△ＣＢＤ

△ＡＢＤを１とすると、

平行四辺形＝１＋１

＝２

△ＡＢＤ＝１

平行四辺形：△ＡＢＤ＝２：１

平行四辺形：△ＡＰＤ＋