中学２年数学　平面図形　２まとめテスト6・解答

中学２年数学　平面図形　２まとめテスト6・解答

６、∠Ａを頂角とする二等辺三角形ＡＢＣの辺ＡＣ上に点Ｐをとり、ＰからＡＢに平行な直線を引き、ＢＣとの交点をＱとします。また、Ｐと、ＢＱの中点Mを結んで延長し、ＡＢの延長との交点をＤとします。弧のとき、ＢＤ＝ＣＰであることを証明してください。

　　答え　　

　　　〔証明〕

　　　△ＭＢＤと△ＭＣＰにおいて

　　仮定より

　　　ＢＭ＝ＣＭ・・・?

　　△ＡＢＣは二等辺三角形ですから底角の∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ・・・?

　　仮定によりＡＢ//ＰＱですから

　　∠ＢＡＣと∠ＣＰＱは同位角により

　　∠ＢＡＣ＝∠ＣＰＱ・・・?

　?，?より
　　　∠ＰＱＭは、△ＰＣＱの外角になります。

　　∠ＰＱＭ＝∠ＣＰＱ＋∠ＰＣＱ・・・?

　　∠ＭＢＤも、△ＡＢＣの外角になります。

　　∠ＭＢＤ＝∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ・・・?

　　?，?より

　　∠ＭＢＤ＝∠ＰＱＭ・・・?

　　∠ＢМＤと∠ＰＭＱは対頂角により

　　∠ＢМＤ＝∠ＰＭＱ・・・?

　　?、?，?より

　　3つの角がそれぞれ等しくなりますから

　　△ＭＢＤ≡△ＭＣＰ

　　になり、

　　合同な三角形の対応する辺はそれぞれ等しくなりますから

　　辺ＢＤ＝辺ＰＱ・・・?

　　になります。

　　　そして、△ＰＱＣは、?，?より二等辺三角形の頂角を挟む2つの辺の長さは等しくなりますから

　二等辺三角形ということがわかります。

　　　　ＰＱ＝ＣＰ・・・?

　　となり、?，?より

　　ＢＤ＝ＣＰ

　　になります。