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中学3年数学 三平方の定理の利用 2確認問題3・解答

三平方の定理

中学3年数学 三平方の定理の利用 2確認問題3・解答

3、図のように、△ABCにおいて、頂点Aから辺BCに引いた垂線と辺BCとの交点をH
とします。

また、頂点A,B,Cを通る円の中心をOとし、直線AOと辺BCの交点をP、円との交点をDとします。

AB=5?,AC=8?,AD=10?のとき、次の問いに答えてください。

(1)△ABH△ADCを証明してください。

答え

[証明]

△ABH△ADC

∠AHB ∠ACD=90゜・・・?

AD 中点Oを通る直線になります、∠ACD弦AD円周角になりますから180/2゜90゜

次に弦AC∠ABC∠ADC(円周角が同じ)・・・?

?,?より

2組の角がそれぞれ等しく なりますから

△ABH△ADC

になります。

(2)線分AHの長さを求めてください。

(1)により

△ABH△ADC とわかりましたから、

AD
ABACAH

AD=10cm

AB=5?

AC=8cm

AH=χ? として考えます。

10 χ

10 ×χ×

10 χ=40

χ =4

χ AH4cm


答え 4cm

(3)PD/APの値を求めてください。

(2)により、AH4cm

AC=8? ですから

△AEC
正三角形ということがわかります。

斜辺 8cmとする△AHC底辺AH=4?とすると

∠HAC 60゜ということがわかります。

これにより、∠ACE60゜ACになります。

∠ACD =90゜ですから、∠ACH∠ACDAC

∠ACH 9060゜30゜


次に 点Dから辺PCに垂線を引きます。PCと交わる点をとして考えます。

∠CID=90゜

∠ICD=60゜

△CAH △DCIで考えます。

∠AHC ∠CID90゜・・・?

∠ACH ∠ACD∠PCD

90゜60゜

30゜

これにより、∠CAH180−(90゜30゜

∠CAH=60゜

∠CAH ∠DCI60゜・・・?

?,?より

△CAH△DCI

になります。

CD の長さは△ACDで考えます。

三平方の定理で考えます。

(底辺)²(高さ)²(斜辺)²

CD²AC²AD²

CDχとして考えます。

AC=8?

AD=10cm

χ²8²10²

χ²64100

χ²10064

χ²=36

χ=6(χになります。)

=6?・・・?

△DCI斜辺の長さがわかりました。

△CAH△DC ですから、

ACAHCDCI

AC=8?

AH=4cm (2)より

CD=6? ?より

CIχ?として考えます。

χ

8×χ×

8χ=24

χ=24/8=3cm・・・?

DIの長さを求めるために三平方の定理を利用します。

(底辺)²(高さ)²=(斜辺)²

底辺CI3cm(?より)

高さDIχとします。

斜辺CD6?(?より)

(3cm)²(χ)²(6?)²

χ²36

χ²36

χ²=27 (χになります。)

χ=√27=3√3?・・・?


次に、△AHP△DIPで考えます。

∠AHP∠DIP90゜・・・?

∠APH∠DPI(対頂角)・・・?

?.?より

2組の角がそれぞれ等しくなりますから

△AHP△DIP

になります。

これにより、AHDI

AH=4cm (2)より

DI=3√3? ?より

AHDI3√3

AHDIAPPD

APPD3√3

これにより、PDAPの値は

3√3になります。

答え 3√3/4

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