中学２年数学 平面図形 ２まとめテスト１・解答
１、三角形ＡＢＣにおいて、∠ＢＡＣ＝120°であるとき、（１）、（２）の場合について∠ＡＢＣの大きさを求めてください。ただし、図は正確ではありません。
（１）ＣＡ＝ＡＰ＝ＰＱ＝ＱＢとします。
△ＢＱＰ、△ＰＱＡ、△ＡＰＣの３つの三角形は２つの辺がそれぞれ等しくなりますから，
二等辺三角形ということがわかります。
∠Ｂをχ°として考えていきます。
仮定より∠ＢＡＣ＝120°ですから
∠Ｃは、三角形の内角の和（180°）から２つの角の和を引いた角度になります。
∠Ｂ＝χですから
∠ＢＡＣ＝120°
∠ＢＣＡ＝180°ー（120°＋χ）
∠ＱＰＢは二等辺三角形ＢＱＰの底角になりますから
∠ＱＰＢ＝χ°
∠ＰＱＡは、△ＢＱＰの外角になりますから、
∠ＱＰＢ＝２χ°
∠ＱＡＰは、二等辺三角形ＰＱＡの１つの底角になりますから
∠ＱＡＰ＝２χ°
つぎに、∠ＡＰＣについて考えます。
△ＡＢＰの２つの角、∠ＡＢＰと∠ＢＡＰの２つの角の和が外角（∠ＡＰＣ）になります。
∠ＡＰＣ＝∠ＡＢＰ＋∠ＢＡＰ
＝χ°＋２χ°
＝3χ°
∠ＡＣＰは、△ＡＰＣ（二等辺三角形）の１つの底角になります。
∠ＡＣＰ＝3χ°
∠ＰＡＣは，三角形の内角の和から
∠ＰＡＣ＝180°ー（３χ°＋3χ°）
＝180°ー６χ°
∠ＢＡＣは、120°。
∠ＢＡＣ＝120°
∠ＢＡＣ＝∠ＱＡＰ＋∠ＰＡＣ
120°＝２χ°＋（180°ー６χ°）
120°＝２χ°＋180°ー６χ°
２χ°ー６χ°＝120°ー180°
−４χ°＝ー60°
χ＝15°
答え ∠ＡＢＣ＝15°
（２）
ＣＡ＝ＡＰ＝ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＢとします。
今回は，∠ＡＢＣをyとして考えます。
∠ＢＡＣ＝120°
（１）と同じように考えていきます。
△ＢＲＱは二等辺三角形になります。
∠ＱＢＲ＝y°
∠ＢＱＲ＝y°
△ＱＲＰについて考えます。
∠ＱＲＰは、△ＢＱＲの外角になりますから、
∠ＱＲＰ＝２y°
△ＱＲＰは二等辺三角形ですから
∠ＱＰＲ＝２y°
次に∠ＡＱＰについて考えます。
∠ＡＱＰは、△ＱＢＰの∠ＱＢＰと∠ＱＰＢの外角になります。
∠ＡＱＰ＝∠ＱＢＰ＋∠ＱＰＢ
∠ＡＱＰ＝y°＋２y°
∠ＡＱＰ＝３y°
△ＡＱＰは二等辺三角形ですから、
∠ＱＡＰ＝３y°
つぎに、∠ＡＰＣについて考えます。
∠ＡＰＣは△ＡＢＰの∠ＡＢＰと∠ＢＡＰの外角になります。
∠ＡＰＣ＝∠ＡＢＰ＋∠ＢＡＰ
∠ＡＰＣ＝y°＋３y°
∠ＡＰＣ＝４y°
△ＡＰＣは二等辺三角形になりますから
∠ＡＣＰ＝４y°になります。
△ＡＢＣについて考えます。
三角形の内角の和は180°になりますから
∠ＡＢＣ＝y°
∠ＡＣＢ＝４y°
∠ＢＡＣ＝120°
（三角形の内角の和）＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＋∠ＢＡＣ
180°＝y°＋４y°＋120°
y°＋４y°＝180°ー120°
５y°＝60°
y＝12°
答え ∠ＡＢＣ＝12°
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