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中学2年数学 平面図形 2まとめテスト1・解答

平面図形

中学2年数学 平面図形 2まとめテスト1・解答

1、三角形ABCにおいて、∠BAC=120°であるとき、(1)、(2)の場合について∠ABCの大きさを求めてください。ただし、図は正確ではありません。

(1)CA=AP=PQ=QBとします。

   
△BQP△PQA△APCの3つの三角形は2つの辺がそれぞれ等しくなりますから,

  二等辺三角形ということがわかります。

   ∠Bχ°として考えていきます。

  仮定より∠BAC=120°ですから

  ∠Cは、三角形の内角の和(180°)から2つの角の和を引いた角度になります。

  ∠B=χですから

  ∠BAC=120°

  ∠BCA=180°ー(120°+χ)

  ∠QPB二等辺三角形BQP底角になりますから

  ∠QPB=χ°

  ∠PQAは、△BQP外角になりますから、

  ∠QPB2χ°

  ∠QAPは、二等辺三角形PQAの1つの底角になりますから

  ∠QAP2χ°

   つぎに、∠APCについて考えます。

  △ABPの2つの角、∠ABP∠BAPの2つの角の和が外角(∠APC)になります。

  ∠APC∠ABP∠BAP

      =χ°+2χ°

      =3χ°

  ∠ACPは、△APC二等辺三角形)の1つの底角になります。

  ∠ACP3χ°

  
∠PACは,三角形の内角の和から

  ∠PAC=180°ー(3χ°3χ°

     =180°ー6χ°

  ∠BACは、120°

  ∠BAC=120°

  ∠BAC∠QAP∠PAC

  120°2χ°+(180°ー6χ°

  120°=2χ°+180°ー6χ°

  2χ°ー6χ°=120°ー180°

  −4χ°=ー60°

   χ=15°

      
  答え ∠ABC=15°

 

(2)CA=AP=PQ=QR=RBとします。

  今回は,∠ABCをyとして考えます。
  
  ∠BAC120°

  (1)と同じように考えていきます。

  △BRQ二等辺三角形になります。

  ∠QBR

  ∠BQR

  △QRPについて考えます。

  ∠QRPは、△BQR外角になりますから、

  ∠QRP2y°

  △QRP二等辺三角形ですから

  ∠QPR2y°

  次に∠AQPについて考えます。

  ∠AQPは、△QBP∠QBP∠QPB外角になります。

  ∠AQP∠QBP∠QPB

  ∠AQP2y°

  ∠AQP3y°

  △AQP二等辺三角形ですから、

  ∠QAP3y°

  つぎに、∠APCについて考えます。

  ∠APC△ABP∠ABP∠BAP外角になります。

  ∠APC∠ABP∠BAP

  ∠APC3y°

  ∠APC4y°

  △APC二等辺三角形になりますから

  ∠ACP4y°になります。

   △ABCについて考えます。

  三角形の内角の和は180°になりますから

  ∠ABC

  ∠ACB4y°

  ∠BAC=120°

  (三角形の内角の和)=∠ABC∠ACB∠BAC

   180°=4y°120°

   4y°=180°ー120°

   5y°=60°

    y=12°

 

   答え ∠ABC=12°

 

 

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