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中学2年数学 式と計算 2まとめテスト4・解答

中学2年数学 式と計算 2まとめテスト4・解答


4、次の問いに答えてください。


(1)3桁の整数で、百の位の数と一の位の数を入れ替えてできる整数と、もとの整数との差は9の倍数である。その理由を文字を用いて説明してください。


【解答・解説】


    元の整数の百の位の数をa


             十の位の数をb


             一の位の数をc


   とすると、


   (100×a)(10×b)(c)


  になります。


  これを元に、aを入れ替えます。


  (100×c)(10×b)(a)


  もとの整数との差は9の倍数をたずねていますから。


  {(100×a)+(10×b)+(c)}  {(100×c)+(10×b)+(a)}


  =(100a+10b+c) − (100c+10b+a)


  =100a+10b+c − 100c−10b−a


  =100a−a+10b−10b−100c+c


  =99a−99c


  =99(a−c)


   
   a−c は整数ですから


  99(整数)


  ですから、9×11(整数)で、


  9の倍数ということがわかります。


   よって、2つの整数の差は9の倍数となります。


 


 


 


(2)11+13=24、21+23=44など、連続する2つの奇数の和は4で割り切れます。その理由を文字を用いて説明してください。


【解答・解説】


   mを整数とすると、連続する2つの奇数は、


  2m+12m+3になります。(偶数は2×(整数m)ですから、偶数に1、3を加えれば奇数になります。)  


  たずねているのは、連続する2つの奇数の和は4で割り切れるか?


  ですから、


  (2m+1)(2m+3)


  =2m+1+2m+3


  =2m+2m+1+3


  =4m+4


  =4(m+1)


   mは整数ですから


  4(整数)で4の倍数になりますから、4で割り切れます


   よって、連続する2つの奇数の和は4で割り切れることがわかります。


 



(3)5+8=13,11+20=31のように、3で割ると2余るような2つの整数の和は、3で割ると1余ります。その理由を文字を用いて説明してください。


  m、n を整数とします。


【解答・解説】


  3で割ると2余るように、m、nで表すと。


   5÷3=1・・・2


   8÷3=2・・・2


   11÷3=3・・・2


   20÷3=6・・・2


   m÷3=3m+2


  ですから


   (3m+2)(3n+2)で表すことができます。


   たずねているのは、3で割ると2余るような2つの整数の和は、3で割ると1余るのか?です、


   (3m+2)(3n+2)


   =3m+2+3n+2


   =3m+3n+2+2


   =3m+3n+4


   =3(m+n+1)+1


  になります。


   (m+n+1) は整数になりますから、


  3(整数)+1


  になりますから、3で割ると2余るような2つの整数の和は、3で割る1余ることがわかります。



 

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