中学2年数学 式と計算 2まとめテスト4・解答
4、次の問いに答えてください。
(1)3桁の整数で、百の位の数と一の位の数を入れ替えてできる整数と、もとの整数との差は9の倍数である。その理由を文字を用いて説明してください。
【解答・解説】
元の整数の百の位の数をa
十の位の数をb
一の位の数をc
とすると、
(100×a)+(10×b)+(c)
になります。
これを元に、aとcを入れ替えます。
(100×c)+(10×b)+(a)
もとの整数との差は9の倍数をたずねていますから。
{(100×a)+(10×b)+(c)} − {(100×c)+(10×b)+(a)}
=(100a+10b+c) − (100c+10b+a)
=100a+10b+c − 100c−10b−a
=100a−a+10b−10b−100c+c
=99a−99c
=99(a−c)
a−c は整数ですから
99(整数)
ですから、9×11(整数)で、
9の倍数ということがわかります。
よって、2つの整数の差は9の倍数となります。
(2)11+13=24、21+23=44など、連続する2つの奇数の和は4で割り切れます。その理由を文字を用いて説明してください。
【解答・解説】
mを整数とすると、連続する2つの奇数は、
2m+1と2m+3になります。(偶数は2×(整数m)ですから、偶数に1、3を加えれば奇数になります。)
たずねているのは、連続する2つの奇数の和は4で割り切れるか?
ですから、
(2m+1)+(2m+3)
=2m+1+2m+3
=2m+2m+1+3
=4m+4
=4(m+1)
mは整数ですから
4(整数)で4の倍数になりますから、4で割り切れます。
よって、連続する2つの奇数の和は4で割り切れることがわかります。
(3)5+8=13,11+20=31のように、3で割ると2余るような2つの整数の和は、3で割ると1余ります。その理由を文字を用いて説明してください。
m、n を整数とします。
【解答・解説】
3で割ると2余るように、m、nで表すと。
5÷3=1・・・2
8÷3=2・・・2
11÷3=3・・・2
20÷3=6・・・2
m÷3=3m+2
ですから
(3m+2)、(3n+2)で表すことができます。
たずねているのは、3で割ると2余るような2つの整数の和は、3で割ると1余るのか?です、
(3m+2)+(3n+2)
=3m+2+3n+2
=3m+3n+2+2
=3m+3n+4
=3(m+n+1)+1
になります。
(m+n+1) は整数になりますから、
3(整数)+1
になりますから、3で割ると2余るような2つの整数の和は、3で割ると1余ることがわかります。
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