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中学2年数学 平面図形 平行四辺形の性質 確認問題6・解答

合同

中学2年数学 平面図形 平行四辺形の性質 確認問題6・解答


6、線分AC上に点Bがあります。図のようにひし形KABLとひし形MBCNをつくります。∠KAB=60°とするとき、△ABM≡△KBCであることを証明してください。


△ABM△KBCにおいて


仮定により


ABLKMBCNは平行四辺形になります。


ゆえに、


AB=KL=AK=BL・・・①


BM=CN=MN=BM・・・②


∠KAB∠KLB・・・③


∠ABL∠AKL・・・④


∠CBM=∠CNM・・・⑤


∠BMN=∠BCN・・・⑥


△ABKについて考えます。


辺AK=辺ABは①によりわかっていますから、


二等辺三角形ということがわかります。


仮定により∠AKB=60°ですから、二等辺三角形の底角は残りの120°ということになります。


底角の2つの角は等しくなりますから、120°÷60°ということになり


△ABKは正三角形ということがわかりました。


これにより、辺AB=辺KB・・・⑦


△ABKと△LBKは、


①、②より


2つの辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから


△ABK≡△LBK


となります。


合同な三角形の対応する角はそれぞれ等しくなりますから


∠KAB∠ABK∠AKB∠LBK∠LKB∠KLB


正三角形ですから、すべての角が60°になります。


∠ABL∠ABK∠KBL


∠ABL=60°+60°


∠ABL=120°・・・⑧


∠MBCは、ABKLが平行四辺形ですから、AK//BL


になります。


∠KAB∠MBC同位角により


∠KAB∠MBC・・・⑨

∠KBC∠KBL∠MBC


∠KBC=60°+60°


∠KBC=120°・・・⑩


∠ABL∠KBC・・・⑪


②、⑦、⑪より


2つの辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから


△ABM△KBC


になります。



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