中学2年数学 式の計算 ３まとめテスト５・解答
５、次の問いに答えてください。
（１）4桁の自然数の各位の数の和が3の倍数であるとき、元の自然数は3の倍数となります。この理由を文字を用いて説明してください。
4桁の自然数を、ａ、b、c、d で表すと、
千の位の数 1000×a
百の位の数 100×b
十の位の数 10×c
一の位の数 d
になります。
4桁の自然数ですから、すべてを足した数になります。
(1000a)＋(100b)＋(10c)＋(d)
になります。
たずねているのは、各位の数の和が3の倍数であるとき、元の自然数は3の倍数となるのか？
各位の数とは、4桁の自然数を、ａ、b、c、d になりますから、
(1000a)＋(100b)＋(10c)＋(d)
＝(999a＋a)＋(99b＋b)＋(9c＋c)＋(d)
＝(999a＋99b＋9c)＋(a＋b＋c＋d)
＝3(333a＋33b＋3c)＋(a＋b＋c＋d)
になります。
(333a＋33b＋3c)は整数になりますから、
3(333a＋33b＋3c)は3(整数)ということになり、3の倍数ということがわかります。
よって、3(整数)＋(a＋b＋c＋d) は
(a＋b＋c＋d)が3の倍数であれば、元の自然数は3の倍数となります。
例：3の倍の数ならばどんな数でもいいのですから、
aを 3、 bを 6、 cを 9、 dを 3
とします。
(1000×3)＋(100×6)＋(10×9)＋(3)
になります。
＝3693
3693が、3の倍数になっているのか？
3693÷3＝1231(倍)
となります。
（２）2つの異なる自然数A,Bがあります。Aを5で割ると商がｐで余りが4で、Bを5で割ると商がqで余りが3になります。このとき、A＋Bを5で割ったときの商と余りを求めてください。
自然数A÷5＝ｐ＋4
自然数B÷5＝ｑ＋3
（自然数A＋自然数B)÷5＝[]＋()
となります。
自然数Aは
A÷5＝ｐ＋4
A＝5ｐ＋4
自然数Bは
B÷5＝ｑ＋3
B＝5ｑ＋3
｛（5ｐ＋4)＋(5ｑ＋3）｝÷5
＝｛5ｐ＋4＋5ｑ＋3｝÷5
＝｛5ｐ＋5ｑ＋7｝÷5
＝(ｐ＋ｑ＋1)＋2
したがって、A＋Bを5で割ったときの商はｐ＋ｑ＋1で余り2になります。
答え （商）ｐ＋ｑ＋1、（余り）2
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