中学2年数学　式の計算　３まとめテスト５・解答

５、次の問いに答えてください。

（１）4桁の自然数の各位の数の和が3の倍数であるとき、元の自然数は3の倍数となります。この理由を文字を用いて説明してください。

　　4桁の自然数を、ａ、b、c、d　で表すと、

　　　千の位の数　　　1000×a　　

　　　百の位の数　　　100×b　

　　　十の位の数　　　10×c　

　　　一の位の数　　　　　d　

　　　になります。

　　　4桁の自然数ですから、すべてを足した数になります。

　　　(1000a)＋(100b)＋(10c)＋(d)

　　　になります。
　
　　たずねているのは、各位の数の和が3の倍数であるとき、元の自然数は3の倍数となるのか？

　　　各位の数とは、4桁の自然数を、ａ、b、c、d　になりますから、

　　　(1000a)＋(100b)＋(10c)＋(d)

　　＝(999a＋a)＋(99b＋b)＋(9c＋c)＋(d)

　　＝(999a＋99b＋9c)＋(a＋b＋c＋d)

　　＝3(333a＋33b＋3c)＋(a＋b＋c＋d)

　　になります。

　　(333a＋33b＋3c)は整数になりますから、

　　3(333a＋33b＋3c)は3(整数)ということになり、3の倍数ということがわかります。

　　よって、3(整数)＋(a＋b＋c＋d)　は

　　(a＋b＋c＋d)が3の倍数であれば、元の自然数は3の倍数となります。

　　　例：3の倍の数ならばどんな数でもいいのですから、

　　　aを　3、　bを　6、　cを　9、　dを　3

　　　とします。

　　　　(1000×3)＋(100×6)＋(10×9)＋(3)

　　になります。

　　　　＝3693

　　　3693が、3の倍数になっているのか？

　　　3693÷3＝1231(倍)

　　　　となります。

（２）2つの異なる自然数A,Bがあります。Aを5で割ると商がｐで余りが4で、Bを5で割ると商がqで余りが3になります。このとき、A＋Bを5で割ったときの商と余りを求めてください。

　　自然数A÷5＝ｐ＋4

　　自然数B÷5＝ｑ＋3

　　（自然数A＋自然数B)÷5＝[]＋()

　　となります。

　　自然数Aは

　　A÷5＝ｐ＋4

　　A＝5ｐ＋4

　　自然数Bは

　　B÷5＝ｑ＋3

　　B＝5ｑ＋3

　　｛（5ｐ＋4)＋(5ｑ＋3）｝÷5

　　＝｛5ｐ＋4＋5ｑ＋3｝÷5

　　＝｛5ｐ＋5ｑ＋7｝÷5

　　＝(ｐ＋ｑ＋1)＋2

　したがって、A＋Bを5で割ったときの商はｐ＋ｑ＋1で余り2になります。

　　答え　（商）ｐ＋ｑ＋1、（余り）2