中学2年数学　1次関数　2まとめテスト2・解答

中学2年数学　1次関数　2まとめテスト2・解答

２、図のように、3点Ａ（−４，６），Ｂ（０、−２），Ｃ（４，０）を頂点とする△ＡＢＣがあります。辺ＢＣ上の点Ｐに対して、辺ＡＣ上に点ＱをＰＱとｙ軸が平行になるように取り、辺ＡＢ上に点ＲをＰＲとχ軸が平行になるように取ります。

　さらに、四角形ＰＱＳＲが長方形になるように点Ｓを取るとき、次の問いに答えて下さい。

（１）点Ｐのχ座標をａとするとき、ＰＱの長さをａの式で表して下さい。

　ＰＱの長さを求めるには、

　　?　直線ＡＣ上のＱ点と直線ＢＣ上のＰ点の座標を求めます。

　ただし、2つの座標のχはａですから、ｙを求めます。

　　?　Ｑ点とＰ点の2つの座標がわかれば、点Ｑから点Ｐの2つのｙ座標を引けば直線ＰＱの長さがわかります。

　まずは、直線ＡＣの式から考えていきます。

　　　ｙ＝ａχ+ｂ　の形にします。

　　点Ａの座標（−４，６）、点Ｃの座標（４，０）を2元1次式で考えます。

　　　6＝-4ａ+ｂ
　｛
　　　0＝4ａ＋ｂ

　　-4ａ+ｂ＝6
　｛
　　4ａ＋ｂ＝0

　　　-4ａ+ｂ＝6
　−)　4ａ＋ｂ＝0
　　　−8ａ＝6

　　ａ＝−3/4

　　0＝4ａ＋ｂ　に　ａ＝−3/4　を代入します。

　　−4（−3/4）＝ｂ

　　ｂ＝3

　　　ｙ＝−3/4χ＋3　直線ＡＣの式になります。ただし、χの値がａになりますから、

　　　　ｙ＝−3/4ａ＋3　　となります。

　次に同じように、直線ＢＣの式を考えます。

　　点Ｂの座標（０，−２）、点Ｃの座標（４，０）を2元1次式で考えます。

　　　−2＝0＋ｂ
　｛
　　　0＝4ａ＋ｂ

　　　−2＝ｂ
　｛
　　　−4ａ＝ｂ

　　−4ａ＝−2

　　ａ＝2/4

　　ａ＝1/2

　　　　ｙ＝1/2χ−2　直線ＢＣの式になります。ただし、χの値がａになりますから、

　　　　ｙ＝1/2ａ−2　　となります。

　座標Ｐ(χ、ｙ)＝(ａ、1/2ａ−2)、座標Ｑ(χ、ｙ)＝(ａ、−3/4ａ＋3)　になります。

　2つの座標がわかりましたから、

　（点Ｑのｙ座標）−（点Ｐのｙ座標）＝（直線ＰＱの長さ）

　　（−3/4ａ＋3）−（1/2ａ−2）＝−3/4ａ＋3−1/2ａ＋2

　　　　　　　　　　　　　　　　＝−3/4ａ−2/4ａ＋3＋2

　　　　　　　　　　　　　　　　＝−5/4ａ＋5

　　これで、直線ＰＱの長さがわかりました。

　　答え　　−5/4ａ＋5  

（２）四角形ＰＱＳＲが正方形になるとき、点Ｐのχ座標を求めて下さい。

　　　正方形になるには、辺ＰＱと辺ＰＲの長さが等しければ正方形になります。

　　辺ＰＱの長さはわかっていますから、辺ＰＲが判ればいいということになります。

　　点Ｐの座標（ａ、−3/4ａ＋3）は、わかっていますから点Ｒの座標を考えます。

　　点Ｒの座標の、ｙ軸は点Ｐのｙ座標と同じになりますから、−3/4ａ＋3　となります。

　　χの座標をだすために、直線ＡＢの式に、点Ｒのχ座標を入れｙの座標を求めます。

　　直線ＡＢの式は、

　　　　　　　    　(ｙの増加量)　    　 6＋2　   　2
　　　　(傾き)＝―――――――＝―――＝――
　　　　　　　   　(χの増加量)            4　　   　1

　　　　(傾き)が−2　(切片)−2　になりますから、

    　ｙ＝−2χ−2　になります。

　　　　　Ｒ座標のｙは、Ｐ座標のｙの座標（1/2ａ−2）になります。

　　　残るのは、Ｒ座標のχになります。

　　ｙ＝−2χ−2　に1/2ａ−2　を代入します。

　　1/2ａ−2＝−2χ−2

　　−2χ−2＝1/2ａ−2

　　−4χ−4＝ａ−4

　　−4χ＝ａ−4＋4

　　　−4χ＝ａ

　　　χ＝−1/4 ａ

      になります。

　　　これで、点Ｒの(χ、ｙ)＝(−1/4 ａ、1/2ａ−2)

　　　答え　χ＝−1/4 ａ