中学２年数学 平面図形 三角形の性質 確認問題７・解答
７、正方形ＡＢＣＤの対角線ＢＤ上に点Ｅをとり、直線ＡＥがＢＣの延長と交わる点をＦとします。このとき、∠ＥＦＣ＝∠ＥＣＤであることを証明してください。
この問題は少しややこしくなります。
やり方としては、まず、△ＥＦＣと△ＥＣＤをいきなり考えるのではなくて、
△ＥＣＤと△ＥＤＡを証明して
∠ＥＣＤ＝∠ＥＡＤ
だから、
∠ＥＡＤ＝∠ＥＦＣ
と考えます。
それでは証明していきましょう。
答え
△ＥＣＤと△ＥＤＡにおいて
仮定により
正方形ですから４つの辺がそれぞれ等しくなります。
よって、
ＤＡ＝ＤＣ・・・①
ＤＥ共通・・・②
ＢＤは∠Ｄ（90°）の対角線ですから二等分線（45°）になります。
よって、
∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＥ・・・③
①．②．③より
２辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから
△ＥＣＤ≡△ＥＤＡ
になります。
合同な三角形の対応する角はそれぞれ等しくなりますから
∠ＥＣＤ＝∠ＥＡＤ
になります。
つぎに、仮定により
ＡＢＣＤの四角形は正方形ですから
ＡＤ//ＢＣになります。
直線ＡＦは平行な２つの線に交わる直線になりますから
錯角により
∠ＥＡＤ＝∠ＥＦＣ
になります。
△ＡＤＥ≡△ＣＤＥ
ですから
∠ＥＡＤ＝∠ＥＣＤ
よって、
∠ＥＣＤ＝∠ＥＦＣ
になります。
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