中学２年数学　平面図形　平行四辺形の性質　確認問題３・解答

中学２年数学　平面図形　平行四辺形の性質　確認問題３・解答

３、平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＡＢ、ＢＣ、ＤＡ上に、点Ｐ、Ｑ、R、Sをとり、ＡＰ＝ＢＱ＝ＣＲ＝ＤSとするとき、四角形ＰＱＲSは平行四辺形となることを証明してください。

〔解説〕

△ＡＰSと△ＣＲＱにおいて

仮定より

四角形ＡＢＣＤは平行四辺形ですから

２つの対角はそれぞれ等しくなりますから

∠Ａ＝∠Ｃ・・・①

ＡＰ＝ＣＲ・・・②

四角形ＡＢＣＤは平行四辺形ですから

向かい合う２つの辺はそれぞれ等しくなりますから

ＡＤ＝ＢＣ・・・③

ＤS＝ＢＱ・・・④

ですから

ＡＤーＤS＝ＡS

ＢＣーＢＱ＝ＱＣ

③、④より

ＡS＝ＱＣ・・・⑤

①、②、⑤より

２つの辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから

△ＡＰS≡△ＣＲＱ

になります。

合同な三角形の対応する辺はそれぞれ等しくなりますから

ＰS＝ＲＱ・・・⑥

次は、△ＢＰＱと△ＤＲSにおいて

仮定より

ＤS＝ＢＱ・・・④

四角形ＡＢＣＤは平行四辺形ですから

２つの対角はそれぞれ等しくなりますから

∠Ｄ＝∠Ｂ・・・⑦

四角形ＡＢＣＤは平行四辺形ですから

向かい合う２つの辺はそれぞれ等しくなりますから

ＡＢ＝ＣＤ・・・⑧

ＢＰ＝ＡＢーＡＰ

ＤＲ＝ＣＤーＣＲ

④、⑧より

ＢＰ＝ＤＲ・・・⑨

④、⑦、⑨より

２つの辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから、

△ＢＰＱ≡△ＤＲS

になります。

合同な三角形の対応する辺はそれぞれ等しくなりますから、

ＰＱ＝SＲ・・・⑩

⑥、⑩より

向かい合う２つの辺がそれぞれ等しくなりますから

四角形ＰＱＲSは平行四辺形となります。