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中学1年数学 立体の表面積と体積 確認問題6 解答・解説

おうぎ形

中学1年数学 立体の表面積と体積 確認問題6 解答・解説



  図の長方形や台形を、直線ℓを軸として1回転させてできる立体の体積と表面積を


 求めてください。



(1)図


     このような図になります。


  この図形の表面積を考えていきます


  この表面積は、展開図で考えていきます。


  展開図で考えると、表面積は


  上底面、下底面、側面、内側面になります。


  上底面と下底面は同じ面積になりますから


  2×(底面積)+(側面積)+(内側面)になります。


  内側面の面積は半径が2cmの円柱の側面の面積になります。


  半径2cmの円柱の側面の形は長方形の形になります、この長方形の辺の長さは、1辺は高さ


  10cm、もう1辺は半径2cmの円柱の円周になります。


   この円周を求める式は


   (円周)=2πγ


      =2×(半径)×π


   円周の半径は2cmですから


      =2×2×π


      =4πcm


   内側面の面積は、4πcm×10cm=40π?²


  次に、側面の面積を考えます。


   側面の面積も、長方形になりますから1辺×1辺になります。


   ひとつの1辺は高さですから、10cmになり、もう一つの辺の長さは、半径5cmの円の円周


  の長さになります。


   半径5cmの円の円周は、


   (円周)=2πγ


      =2×5×π


      =10πcm


   これで側面の2つの辺の長さがわかりました。


   10cm×10πcm=100π?²


   これで、側面の面積がわかりました。


     次に、上底面の面積を求めます。


   上底面の面積は、半径5cmの円から、半径2cmの円を除いた面積になります。


    それではそれぞれの円の面積を考えていきましょう。


   (円の面積)=πγ²


    (半径5cmの円の面積)=(5cm)×(5cm)×π


              =25π?²


    (半径2cmの円の面積)=(2cm)×(2cm)×π


              =4πcm²


   (半径5cmの円の面積)−(半径2cmの円の面積)=(底面積)


       25π?²−4πcm²=21πcm²


   底面積は、上底と下底がありますから


    2×21πcm²=42πcm²



   これですべての表面積がわかりました。


  表面積=2×(底面積)+(内側面積)+(外側面積)


     =2×21πcm²+40π?²+100π?²


     =42πcm²+40π?²+100π?²


     =182π?²


 


   次に、体積を考えていきましょう。


   体積は、半径が5cm、高さが10cmの円柱から、半径が2cm、高さが10cmの円柱の体積を


   除いた体積が、この筒状の立体の体積になります。


    それでは、


   円柱の体積を求める式から、2つの円柱の体積を求めます。


   円柱の体積を求める式は


   (円柱の体積)=Sh


         =(底面積)×(高さ)


    底面積は、円の面積になりますから。


         =(円の面積)×(高さ)


   (円の面積)=πγ²


        =(半径)×(半径)×π


    (円柱の体積)=(半径)×(半径)×π×(高さ)


  それでは、半径5cmの円柱と、2cmの円柱を考えます。


    ?(円柱の体積)=5×5×π×10


           =250πcm³


    ?(円柱の体積)=2×2×π×10


           =40π?³


   (筒状の立体の体積)=(?)−(?)


            =250πcm³−40π?³
   
            =210πcm³


 


      答え 表面積 182π?² 、体積 210πcm³


 


(2)図の立体の表面積の考え方は


   上底面の形がすり鉢状で、底面積は半径が4cmの円になります。


  すり鉢状の部分は、三角錐のおうぎ形になります。


   側面積は、1辺が6cm、もう1辺が半径4cmの円の周の長さになります。



  それでは、わかりやすいように箇条書きでかいてみます。


  ?下底=円の面積


  ?上底=(三角錐の側面)=(おうぎ形)


  ?側面=長方形



   ?を考えていきましょう


  下底=円の面積


   になりますから、円の面積を考えます。


  (円の面積)=πγ²


       =(半径)×(半径)×π


   (下底の半径4cmの円の面積)=(半径)×(半径)×π


               =4×4×π


               =16πcm²


   ?を考えていきましょう


  上底=(三角錐の側面)=(おうぎ形)


   (おうぎ形の面積)=πγ²×中心角/360


    中心角の角度は、このままではわ

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