中学２年数学 図形の調べ方 まとめテスト４・解答
４、図
のように、長方形ＡＢＣＤの外側に、辺ＢＣ、ＣＤを１辺とする正三角形ＢＥＣ、ＣＦＤをつくります。このとき、△ＡＥＦは正三角形であることを証明してください。
のように、長方形ＡＢＣＤの外側に、辺ＢＣ、ＣＤを１辺とする正三角形ＢＥＣ、ＣＦＤをつくります。このとき、△ＡＥＦは正三角形であることを証明してください。 答え
〔証明〕
△ＡＤＦと△ＡＢＥと△ＣＦＥにおいて、
仮定により
長方形ＡＢＣＤで△ＣＦＤ、△ＢＣＥは正三角形ですから
∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ＝90°＋60°
＝150°
∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＥ＝90°＋60°
＝150°
∠ＦＣＥ＝360°ー（∠ＤＣＢ＋∠ＤＣＦ＋∠ＢＣＥ）
＝360°ー（90°＋60°＋60°）
＝150°
よって、
∠ＡＤＦ＝∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ・・・①
長方形ＡＢＣＤですから、
辺ＡＢ＝辺ＤＦ
△ＣＤＦは、正三角形ですから、
辺ＤＦ＝辺ＣＦ
よって、
辺ＡＢ＝辺ＤＦ＝辺ＣＦ・・・②
長方形ＡＢＣＤですから、
辺ＢＣ＝辺ＡＤ
△ＥＢＣは、正三角形ですから
辺ＢＥ＝辺ＣＥ
よって、
辺ＢＣ＝辺ＡＤ＝辺ＣＥ・・・③
①、②、③より
２つの辺とその間の角が、それぞれ等しくなりますから、
△ＡＤＦ≡△ＡＢＥ≡△ＣＦＥ
になります。
合同な三角形の対応する辺は、それぞれ等しくなりますから
△ＡＥＦは、正三角形になります。
コメント