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中学2年数学 平面図形 平行四辺形の性質 確認問題2・解答

合同

中学2年数学 平面図形 平行四辺形の性質 確認問題2・解答


2、図のように、平行四辺形ABCDの∠A、∠Cの二等分線を引き、辺CD、ABとの交点をそれぞれP、Qとします。このとき、AQ=CPであることを証明してください。


「解説」

△ADP△BCQにおいて


仮定により


ABCDは平行四辺形ですから、


2つの対角は等しくなりますから、


∠D∠B・・・①


ABCDは平行四辺形は、向かい合う2つの辺はそれぞれ等しくなりますから。


AD=BC・・・②


ABCDは平行四辺形ですから、


2つの対角は等しくなりますから、


∠A∠C


●●は、∠A××は、∠Cになり、


∠A●●


∠C××


∠A×12


×∠C×12


ですから、


×・・・③


になります。


①、②、③より


1つの辺とその両端の角がそれぞれ等しくなりますから


△ADP△BCQ


になります。


合同な三角形の対応する角はそれぞれ等しくなりますから


∠APD∠BQC・・・④


になります。


④より、


∠AQC=180ー∠BQC


∠CPA=180ー∠APD


ですから、


∠AQC=∠CPA・・・⑤


③、⑤より


2つの対角がそれぞれ等しくなりますから


四角形AQCPは平行四辺形になります。


答え


〔証明〕


△APDと△CQBにおいて


四角形ABCDが平行四辺形であることから、


AD=CB・・・①


∠PDA=∠QBC・・・②


さらに、仮定より、


∠DAP=1/2∠A


∠BCQ=1/2∠C


∠A=∠Cであることから


∠DAP=∠BCQ・・・③


①、②、③より


1辺とその間の角がそれぞれ等しいので、


△APD≡△CQB


よって、DP=BQ・・・④


ここで、AB=CDであることから、④より


AQ=CP




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