中学２年数学　平面図形　平行四辺形の性質　確認問題２・解答

中学２年数学　平面図形　平行四辺形の性質　確認問題２・解答

２、図のように、平行四辺形ＡＢＣＤの∠Ａ、∠Ｃの二等分線を引き、辺ＣＤ、ＡＢとの交点をそれぞれＰ、Ｑとします。このとき、ＡＱ＝ＣＰであることを証明してください。

「解説」

△ＡＤＰと△ＢＣＱにおいて

仮定により

ＡＢＣＤは平行四辺形ですから、

２つの対角は等しくなりますから、

∠Ｄ＝∠Ｂ・・・①

ＡＢＣＤは平行四辺形は、向かい合う２つの辺はそれぞれ等しくなりますから。

ＡＤ＝ＢＣ・・・②

ＡＢＣＤは平行四辺形ですから、

２つの対角は等しくなりますから、

∠Ａ＝∠Ｃ

●●は、∠Ａ、××は、∠Ｃになり、

∠Ａ＝●●

∠Ｃ＝××

●＝∠Ａ×1／2

×＝∠Ｃ×1／2

ですから、

●＝×・・・③

になります。

①、②、③より

１つの辺とその両端の角がそれぞれ等しくなりますから

△ＡＤＰ≡△ＢＣＱ

になります。

合同な三角形の対応する角はそれぞれ等しくなりますから

∠ＡＰＤ＝∠ＢＱＣ・・・④

になります。

④より、

∠ＡＱＣ＝180ー∠ＢＱＣ

∠ＣＰＡ＝180ー∠ＡＰＤ

ですから、

∠ＡＱＣ＝∠ＣＰＡ・・・⑤

③、⑤より

２つの対角がそれぞれ等しくなりますから

四角形ＡＱＣＰは平行四辺形になります。

答え

〔証明〕

△ＡＰＤと△ＣＱＢにおいて

四角形ＡＢＣＤが平行四辺形であることから、

ＡＤ＝ＣＢ・・・①

∠ＰＤＡ＝∠ＱＢＣ・・・②

さらに、仮定より、

∠ＤＡＰ＝１/２∠Ａ

∠ＢＣＱ＝１/２∠Ｃ

∠Ａ＝∠Ｃであることから

∠ＤＡＰ＝∠ＢＣＱ・・・③

①、②、③より

１辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

△ＡＰＤ≡△ＣＱＢ

よって、ＤＰ＝ＢＱ・・・④

ここで、ＡＢ＝ＣＤであることから、④より

ＡＱ＝ＣＰ