中学２年数学　平面図形　平行四辺形の性質　確認問題４・解答

中学２年数学　平面図形　平行四辺形の性質　確認問題４・解答

４、図のように、平行四辺形ＡＢＣＤの∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ、∠Ｄの二等分線によってつくられる四角形ＥＦＧＨは、長方形であることを証明してください。

長方形であることを証明するためには４つの角が90°であれば長方形であると証明できます。

答え

〔証明〕

四角形ＡＢＣＤの内角の和は360°ですから

平行四辺形は向かい合う角はそれぞれ等しくなりますから

○○＋●●＝∠Ａ＋∠Ｂ＝180°

○＋●＝∠Ａ×１／２＋∠Ｂ×１／２＝180°×１／２

＝90°

○＋●＝90°・・・①

△ＡＧＢと△ＣＥＤにおいて

①より

∠ＧＡＢ＋∠ＧＢＡ＝90°

∠ＡＧＢ＝180°ー（∠ＧＡＢ＋∠ＧＢＡ）

∠ＡＧＢ＝180°ー90°

∠ＡＧＢ＝90°・・・②

∠ＥＤＣ＋∠ＥＣＤ＝90°

∠ＤＥＣ＝180°ー（∠ＥＤＣ＋∠ＥＣＤ）

∠ＤＥＣ
＝180°ー90°

∠ＤＥＣ＝90°・・・③

次に、△ＡＤＨと△ＣＢＦにおいて

①より

∠ＡＨＤ＝180°ー（∠ＤＡＨ＋∠ＡＤＨ）

∠ＡＨＤ＝180°ー90°

∠ＡＨＤ＝90°

対頂角により

∠ＥＨＧ＝∠ＡＨＤ

∠ＥＨＧ＝90°・・・④

∠ＢＦＣ＝180°ー（∠ＦＢＣ＋∠ＦＣＢ）

∠ＢＦＣ＝180°ー90°

∠ＢＦＣ＝90°

対頂角により

∠ＥＦＧ＝∠ＢＦＣ

∠ＥＦＧ＝90°・・・⑤

②、③、④、⑤より

４つの角が等しい四角形ですから、

ＥＦＧＨは長方形ということがわかります。