中学2年数学 平面図形 2まとめテスト2・解答
2、次の問いに答えてください。
(1)長方形の各辺の中点を順に結んでできる四角形は何になりますか?
△APO、△BQP、△CRQ,△DORにおいて、
仮定より
四角形ABCDは長方形になりますから、4つの角はそれぞれ90°になります。
∠OAP=∠PBQ=∠QCR=∠RDO=90°
長方形ですから向かい合うそれぞれの辺の長さはそれぞれ等しくなりますから、
AD=BC、AB=DC・・・?
O、P、Q、Rはそれぞれ中点ですから
AO=DO=BQ=CQ・・・?
AP=BP=DR=CR・・・?
?,?,?より
2つの辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから
△APO≡△BQP≡△CRQ≡△DOR
になりますから
合同な三角形の対応する辺の長さはそれぞれ等しくなります。
OP=PQ=QR=RO
4つの辺の長さが等しい四角形は、正方形かひし形になります。
今回は長方形ですからひし形になります。
答え ひし形
(2)図のように、正方形の辺AB、BC、CD、DA上にそれぞれ点P、Q、R、SをAP=BQ=CR=DSとなるようにとります。このとき、四角形PQRSはどのような四角形になるのか答えてください。また、それを証明してください。
答え 正方形
〔証明〕
△APS、△BQP,△CRQ、△DSRにおいて
正方形ABCDの4つの角は90°ですから
∠PAS=∠QBP=∠RCQ=∠SDR=90°・・・?
仮定により
AP=BQ=CR=DS・・・?
正方形の4つの辺の長さは等しくなりますから、
AB=BC=CD=DA・・・?
(AB−AP)=BP
(BC−BQ)=CQ
(CD−CR)=DR
(DA−DS)=AS
?,?より
BP=CQ=DR=AS・・・?
?,?,?より
2つの辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから
△APS≡△BQP≡△CRQ≡△DSR
になります。
合同な三角形の対応する辺の長さはそれぞれ等しくなりますから、
SP=PQ=QR=RS
になり、四角形PQRSはそれぞれの辺の長さが等しくなりますから
ひし形か正方形になります。
四角形の1つの角がわかれば正方形(90°)か,ひし形(それ以外)かわかります。
△APSにおいて
∠SAP=90°・・・?
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