中学２年数学 ２(図形・確率)まとめテスト５・解答
５、次の問いに答えてください。
（１）図
において、点Ｄは∠Ｂ、∠Ｃの二等分線の交点になります。∠ＢＡＣ＝６８°のとき、∠ＢＤＣの大きさを求めてください。
において、点Ｄは∠Ｂ、∠Ｃの二等分線の交点になります。∠ＢＡＣ＝６８°のとき、∠ＢＤＣの大きさを求めてください。 ●をχとし、×をｙとして考えます。
△ＡＢＣで考えます。
三角形の内角の和は１８０度になりますから、
１８０＝∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ
＝６８°＋２ｙ＋２χ
１８０−６８＝２ｙ＋２χ
１１２＝２χ＋２ｙ
１１２＝２（χ＋ｙ）
５６＝χ＋ｙ・・・①
になります。
①より△ＢＤＣは三角形の内角の和は１８０°になりますから
１８０＝χ＋ｙ＋∠ＢＤＣ
１８０＝５６＋∠ＢＤＣ
∠ＢＤＣ＝１８０−５６
∠ＢＤＣ＝１２４
答え ∠ＢＤＣ＝１２４°
（２）図
で、四角形ＡＢＣＤは正方形、△ＰＢＣは正三角形になります。このとき、∠ＡＰＤの大きさを求めてください。
で、四角形ＡＢＣＤは正方形、△ＰＢＣは正三角形になります。このとき、∠ＡＰＤの大きさを求めてください。 △ＰＢＣは正三角形ですからそれぞれの辺の長さは等しくなります。
ＰＢ＝ＰＣ＝ＢＣ・・・①
四角形ＡＢＣＤは正方形ですからそれぞれの辺の長さが等しくなります。
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ・・・②
①，②より
辺ＰＢ＝辺ＡＢになります。・・・③
△ＡＢＰにおいて、頂角∠ＡＢＰ、辺ＡＢ、辺ＰＢになり △ＡＢＰは二等辺三角形になりますから底角∠ＢＡＰ、∠ＢＰＡは等しくなります。
∠ＢＡＰ＝∠ＢＰＡ・・・④
△ＡＢＰの内角の和は１８０°になり、頂角は３０°になりますから底角は、
１８０＝（頂角）＋２×（底角）
１８０＝３０°＋２（底角）
２（底角）＝１８０−３０
２（底角）＝１５０
底角＝１５０÷２
＝７５
④より、∠ＢＡＰ＝∠ＢＰＡ＝７５°・・・⑤
次に、△ＡＢＰと△ＤＣＰにおいて 仮定により
ＡＢ＝ＤＣ・・・⑥（正方形のそれぞれの辺）
ＰＢ＝ＰＣ・・・⑦（正三角形のそれぞれの辺）
∠ＡＢＰは、∠ＡＢＣ（９０°）から∠ＰＢＣ（６０°）を引いた角度になります。
∠ＤＣＰは、∠ＤＣＢ（９０°）から∠ＰＣＢ（６０°）を引いた角度になります。
∠ＡＢＰ＝∠ＡＢＣ−∠ＰＢＣ
＝９０−６０
＝３０°
∠ＤＣＰ＝∠ＤＣＢ−∠ＰＣＢ
＝９０−６０
＝３０°
∠ＡＢＰ＝∠ＤＣＰ・・・⑧
⑥，⑦，⑧より
２つの辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから
△ＡＢＰ≡△ＤＣＰ
合同な三角形の対応する角はそれぞれ等しくなりますから
∠ＡＰＢ＝∠ＤＰＣ
⑤より、∠ＡＰＢ＝∠ＤＰＣ＝７５°
∠ＢＰＣは正三角形のそれぞれの角になりますから６０°となりますから。
３６０°＝∠ＡＰＤ＋∠ＡＰＢ＋∠ＤＰＣ＋∠ＢＰＣ
＝∠ＡＰＤ＋７５°＋７５°＋６０°
∠ＡＰＤ＝３６０−（７５°＋７５°＋６０°）
＝３６０−２１０
＝１５０
答え ∠ＡＰＤ＝１５０°
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