中学３年数学 二次方程式 まとめテスト４・解答
４、縦が横より５?長い長方形があります。この長方形の縦を３?短くし横を2倍にすると，面積は２０㎠大きくなります。このとき，次の問いに答えてください。
（１）はじめの長方形の縦の長さをχ?として、数量関係を二次方程式に表してください。
四角形の面積は縦の長さ×横の長さ ですから、
縦の長さはχ?
?
横の長さはχー５?
χ×（χー５）
縦の長さχー３?
?
横の長さ2（χー５）?
２（χー３）（χー５）
はじめの長方形と後の長方形を比べると、等号で表すとはじめの長方形に２０㎠を加えると等しくなります。
ですから式は
χ（χー5）＋２０＝２（χー３）（χー5）
になります。
答え χ（χー5）＋２０＝２（χー３）（χー5）
（２）はじめの長方形の縦の長さを求めてください。
（１）の式を求めます。
χ（χー5）＋２０＝２（χー３）（χー5）
χ²ー5χ＋２０＝２（χー３）（χー5）
乗法公式を利用して展開をします。
（χ＋ａ）（χ＋b）＝χ²＋χ（ａ＋ｂ）＋ａｂ
（χー３）（χー5）＝χ²＋χ{（−３）＋（ー５）}＋（−３）（−５）
＝χ²ー8χ＋１５
２（χー３）（χー5）＝２（χ²ー8χ＋１５）
＝２χ²ー１６χ＋３０
χ²ー5χ＋２０＝２χ²ー１６χ＋３０
０＝２χ²ーχ²ー１６χ＋5χ＋３０ー２０
χ²ー１１χ＋１０＝０
掛けて１０，足してー１１になる２つの数は
（ー１）×（ー１０）＝１０、（ー１）＋（ー１０）＝ー１１
χ²ー１１χ＋１０＝（χー１）（χー１０）
（χー１）（χー１０）＝０
Ａ×B＝０ ならば Ａ＝０ または B＝０ になります。
χー１＝０、χー１０＝０
χ＝１ 、χ＝１０
問題文に、この長方形の縦を３?短く～と書いてあるので縦の長さは３?以上になります。
ですから，χ＝１０ になります。
答え １０?
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