中学２年数学　平面図形　２まとめテスト2・解答

中学２年数学　平面図形　２まとめテスト2・解答

２、次の問いに答えてください。

（１）長方形の各辺の中点を順に結んでできる四角形は何になりますか？

　　　△ＡＰＯ、△ＢＱＰ、△ＣＲＱ，△ＤＯＲにおいて、

　　仮定より

　　　四角形ＡＢＣＤは長方形になりますから、４つの角はそれぞれ90°になります。

　　∠ＯＡＰ＝∠ＰＢＱ＝∠ＱＣＲ＝∠ＲＤＯ＝90°

　　長方形ですから向かい合うそれぞれの辺の長さはそれぞれ等しくなりますから、

　　ＡＤ＝ＢＣ、ＡＢ＝ＤＣ・・・?

　　Ｏ、Ｐ、Ｑ、Ｒはそれぞれ中点ですから

　　ＡＯ＝ＤＯ＝ＢＱ＝ＣＱ・・・?

　　ＡＰ＝ＢＰ＝ＤＲ＝ＣＲ・・・?

　　?，?，?より

　　　２つの辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから

　　△ＡＰＯ≡△ＢＱＰ≡△ＣＲＱ≡△ＤＯＲ

　　　になりますから

　　合同な三角形の対応する辺の長さはそれぞれ等しくなります。

　　ＯＰ＝ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＯ

　　　４つの辺の長さが等しい四角形は、正方形かひし形になります。

　　今回は長方形ですからひし形になります。

 

　　　答え　ひし形

 

 

（２）図のように、正方形の辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上にそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒ、ＳをＡＰ＝ＢＱ＝ＣＲ＝ＤＳとなるようにとります。このとき、四角形ＰＱＲSはどのような四角形になるのか答えてください。また、それを証明してください。

　答え　正方形

　　〔証明〕

　　△ＡＰＳ、△ＢＱＰ,△ＣＲＱ、△ＤＳＲにおいて

　　正方形ＡＢＣＤの４つの角は９０°ですから

　　∠ＰＡＳ＝∠ＱＢＰ＝∠ＲＣＱ＝∠ＳＤＲ＝90°・・・?

　　仮定により

　　ＡＰ＝ＢＱ＝ＣＲ＝ＤＳ・・・?

　　　正方形の４つの辺の長さは等しくなりますから、

　　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ・・・?

　　（ＡＢ−ＡＰ）＝ＢＰ

　　（ＢＣ−ＢＱ）＝ＣＱ

　　（ＣＤ−ＣＲ）＝ＤＲ

　　（ＤＡ−ＤＳ）＝ＡＳ

　　?，?より

　　ＢＰ＝ＣＱ＝ＤＲ＝ＡＳ・・・?

　　?，?，?より

　　２つの辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから

　　△ＡＰＳ≡△ＢＱＰ≡△ＣＲＱ≡△ＤＳＲ

　　になります。

　　合同な三角形の対応する辺の長さはそれぞれ等しくなりますから、

　　ＳＰ＝ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＳ

　　になり、四角形ＰＱＲＳはそれぞれの辺の長さが等しくなりますから

　　ひし形か正方形になります。

　　四角形の１つの角がわかれば正方形（90°）か，ひし形（それ以外）かわかります。

　　△ＡＰＳにおいて

　　∠ＳＡＰ＝90°・・・?