中学２年数学 平面図形 まとめテスト４・解答
４、図
のように、円の直線ＡＢの一端Ａから弦ＡＣをひき、弧ＡＣの中点をMとします。点MからＡＢにおろした垂線をMＨとし、ＡＣと、MＨ、MＢの交点をそれぞれＤ、Ｅとするとき、次の問いに答えてください。
のように、円の直線ＡＢの一端Ａから弦ＡＣをひき、弧ＡＣの中点をMとします。点MからＡＢにおろした垂線をMＨとし、ＡＣと、MＨ、MＢの交点をそれぞれＤ、Ｅとするとき、次の問いに答えてください。（１）△ＤＥMは二等辺三角形になることを証明してください。
答え
〔証明〕
まずは、 ∠ＡＢＭ＝χとします。
そうすると、△ＨＭＢにおいて ∠ＨＭＢ＝180°−（90°＋χ）・・・①
になります。
また、弧ＡＭ＝弧ＭＣになりますから、
円周角の定理により
∠ＭＡＣ＝∠ＡＢＭ＝χ
となります。
さらに、ＡＢは円の直径になりますから
∠ＡＭＢ＝90°
になり，△ＭＡＥにおいて、
∠ＡＥＭ＝180°ー（90°＋χ） ＝180°ー90°ーχ
＝90°ーχ
になり、
∠ＤＥＭ＝90°−χ・・・②
①、②より
∠ＤＭＥ＝∠ＤＥＭ
よって、
△ＤＥＭは二等辺三角形になります。
（２）点Ｄは線分ＡＥの中点であることを証明してください。
まずは、△AMHと△AMＢを考えます。 ①より、
∠ＡＭＤ＝90°−（90°−χ）
＝90°ー90°＋χ<
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＝χ
また、∠ＭＡＤ＝χ
になりますから、
∠ＡＭＤ＝∠ＭＡＤ
となり、△ＭＡＤは二等辺三角形になります。
二等辺三角形の２つの辺ＤＡとＤＥは等しくなりますから
ＤＡ＝ＤＥ・・・③
一方、（１）よりＤＡ＝ＤＥ・・・④
ですから
③、④より
ＤＡ＝ＤＥ
となり、点Ｄは線分ＡＦの中点になります。
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