中学2年数学 平面図形 まとめテスト4・解答
4、図
のように、円の直線ABの一端Aから弦ACをひき、弧ACの中点をMとします。点MからABにおろした垂線をMHとし、ACと、MH、MBの交点をそれぞれD、Eとするとき、次の問いに答えてください。
![](http://unknownjuku.info/wp-content/uploads/2013/03/blog_import_50a63171a6ab2.jpg)
(1)△DEMは二等辺三角形になることを証明してください。
答え
〔証明〕
まずは、 ∠ABM=χとします。
![](http://unknownjuku.info/wp-content/uploads/2013/03/blog_import_50a631726ad37.jpg)
∠HMB=180°−(90°+χ)・・・①
になります。
また、弧AM=弧MCになりますから、
円周角の定理により
∠MAC=∠ABM=χ
となります。
さらに、ABは円の直径になりますから![](http://unknownjuku.info/wp-content/uploads/2013/03/blog_import_50a63172c976a.jpg)
![](http://unknownjuku.info/wp-content/uploads/2013/03/blog_import_50a63172c976a.jpg)
∠AMB=90°
になり,△MAEにおいて、
![](http://unknownjuku.info/wp-content/uploads/2013/03/blog_import_50a631733bc6f.jpg)
=180°ー90°ーχ
=90°ーχ
になり、
∠DEM=90°−χ・・・②
①、②より
∠DME=∠DEM
よって、
△DEMは二等辺三角形になります。
(2)点Dは線分AEの中点であることを証明してください。
![](http://unknownjuku.info/wp-content/uploads/2013/03/blog_import_50a63173a0ced.jpg)
①より、![](http://unknownjuku.info/wp-content/uploads/2013/03/blog_import_50a631740bfc8.jpg)
![](http://unknownjuku.info/wp-content/uploads/2013/03/blog_import_50a631740bfc8.jpg)
∠AMD=90°−(90°−χ)
=90°ー90°+χ<
/span>
=χ
また、∠MAD=χ
になりますから、
∠AMD=∠MAD
となり、△MADは二等辺三角形になります。
二等辺三角形の2つの辺DAとDEは等しくなりますから
DA=DE・・・③
一方、(1)よりDA=DE・・・④
ですから
③、④より
DA=DE
となり、点Dは線分AFの中点になります。
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