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中学２年数学　平面図形　まとめテスト４・解答

平面図形
中学２年数学　平面図形　まとめテスト４・解答


４、図のように、円の直線ＡＢの一端Ａから弦ＡＣをひき、弧ＡＣの中点をMとします。点MからＡＢにおろした垂線をMＨとし、ＡＣと、MＨ、MＢの交点をそれぞれＤ、Ｅとするとき、次の問いに答えてください。


（１）△ＤＥMは二等辺三角形になることを証明してください。



答え


〔証明〕


まずは、　∠ＡＢＭ＝χとします。


そうすると、△ＨＭＢにおいて


∠ＨＭＢ＝180°−（90°＋χ）・・・①


になります。


また、弧ＡＭ＝弧ＭＣになりますから、


円周角の定理により


∠ＭＡＣ＝∠ＡＢＭ＝χ


となります。


さらに、ＡＢは円の直径になりますから


∠ＡＭＢ＝90°


になり，△ＭＡＥにおいて、


∠ＡＥＭ＝180°ー（90°＋χ）


＝180°ー90°ーχ


＝90°ーχ


になり、


∠ＤＥＭ＝90°−χ・・・②


①、②より


∠ＤＭＥ＝∠ＤＥＭ


よって、


△ＤＥＭは二等辺三角形になります。





（２）点Ｄは線分ＡＥの中点であることを証明してください。


 まずは、△AMHと△AMＢを考えます。




①より、


∠ＡＭＤ＝90°−（90°−χ）


＝90°ー90°＋χ< /span>


＝χ



また、∠ＭＡＤ＝χ


になりますから、


∠ＡＭＤ＝∠ＭＡＤ


となり、△ＭＡＤは二等辺三角形になります。


二等辺三角形の２つの辺ＤＡとＤＥは等しくなりますから


ＤＡ＝ＤＥ・・・③


一方、（１）よりＤＡ＝ＤＥ・・・④


ですから


③、④より


ＤＡ＝ＤＥ


となり、点Ｄは線分ＡＦの中点になります。



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