中学３年数学　平方根　根号を含む式の計算　２確認問題３・解答

３、次の問いに答えてください。

（１）χ＝２＋√３，ｙ＝２ー√３のとき、χ ²ーｙ²の値を求めてください。

χ ²ーｙ²にχ＝２＋√３，ｙ＝２ー√３を代入します。

（２＋√３）²ー（２ー√３）²

乗法公式を利用して、展開します。

（ａ＋ｂ）²＝ａ²＋２ａｂ＋ｂ²

（ａーｂ）²＝ａ²ー２ａｂ＋ｂ²

（２＋√３）²＝２²＋２×２×√３＋（√３）²

＝４＋４√３＋３

＝７＋４√３

（２ー√３）＝２²ー２×２×√３＋（√３）²

＝４ー４√３＋３

＝7ー４√３

（７＋４√３）ー（7ー４√３）

＝７＋４√３ー７＋４√３

＝8√３

答え　8√３

（２）χ＝√６＋√５、ｙ＝√６ー√5のとき、（χ＋ｙ）²ー（χーｙ）²の値を求めてください。

乗法公式を利用して展開をします。

（ａ＋ｂ）²＝ａ²＋２ａｂ＋ｂ²

（ａーｂ）²＝ａ²ー２ａｂ＋ｂ²

（χ＋ｙ）²＝χ²＋２χｙ＋ｙ²

（χーｙ）²＝χ²ー２χｙ＋ｙ²

（χ²＋２χｙ＋ｙ²）ー（χ²ー２χｙ＋ｙ²）

＝χ²＋２χｙ＋ｙ²ーχ²＋２χｙーｙ²

＝χ²ーχ²＋２χｙ＋２χｙ＋ｙ²ーｙ²

＝４χｙ

４χｙにχ＝√６＋√５、ｙ＝√６ー√5を代入します。

４（√６＋√５）（√６ー√５）

乗法公式を利用して展開します。

（ａ＋ｂ）（ａーｂ）＝ａ²ーｂ²

（√６＋√５）（√６ー√５）＝（√６）²ー（√5）²

＝６ー5

＝１

４×１＝４

答え　４

（３）χ＝１＋√３，ｙ＝１ー√３のとき、χ ²ーχｙー２ｙ²の値を求めてください。

χ ²ーχｙー２ｙ²を因数分解します。

χ²＋χ（ａ＋ｂ）＋ａｂ＝（χ＋ａ）（χ＋ｂ）

掛けてー２y²、たしてーｙ

ｙ×（ー２ｙ）＝ー２ｙ²、ｙ＋（ー２ｙ）＝ーｙ

χ ²ーχｙー２ｙ²＝（χ＋ｙ）（χー２ｙ）

（χ＋ｙ）にχ＝１＋√３，ｙ＝１ー√３を代入します。

（１＋√３＋１ー√３）＝２

（χー２ｙ）にχ＝１＋√３，ｙ＝１ー√３を代入します。

１＋√３ー２（１ー√３）＝１＋√３ー２＋２√３

＝ー１＋３√３

（χ＋ｙ）（χー２ｙ）＝２×（ー１＋３√３）

＝ー２＋６√３

答え　ー２＋６√３

（４）ａ＝３ー√２、ｂ＝３＋√２のとき、（ａーｂ）（ａ＋ｂ）ー（ａー２ｂ）（ａ＋ｂ）の値を求めてください。

（ａーｂ）（ａ＋ｂ）ー（ａー２ｂ）（ａ＋ｂ）

乗法公式を利用して展開
をします。

（ａ＋ｂ）（ａーｂ）＝ａ²ーｂ²

（χ＋ａ）（χ＋ｂ）＝χ ²＋ χ（ａ＋ｂ）＋ａｂ

（ａーｂ）（ａ＋ｂ）＝ａ²ーｂ²

（ａー２ｂ）（ａ＋ｂ）＝ａ²＋ａ（ー２ｂ＋b）＋b×（ー２ｂ）

＝ａ²ーａｂー２b ²

（ａ²ーｂ²）ー（ａ²ーａｂー２b ²）

＝ａ²ーｂ²ーａ²＋ａｂ＋２b ²

＝ａ²ーａ²＋ａｂ＋２b ²ーｂ²

＝ａｂ＋b ²

ａｂ＋b ²にａ＝３ー√２、ｂ＝３＋√２を代入します。

（３ー√２）（３＋√２）＋（３＋√２）²

乗法公式を利用して展開をします。

（ａ＋b）（ａーｂ）＝ａ²ーｂ²

（ａ＋b）²＝ａ²＋２ａｂ＋b²

（３ー√２）（３＋√２）＝３²ー（√２）²

＝９ー２

＝７

（３＋√２）²＝３²＋２×３√２＋（√２）²

＝９＋６√２＋２

＝１１＋６√２

元の式に代入します。

（３ー√２）（３＋√２）＋（３＋√２）²＝（７）＋（１１＋６√２）

＝7＋１１＋６√２

＝１８＋６√２

答え　１８＋６√２