中学3年数学　三平方の定理の利用　練習問題３・解答

中学3年数学　三平方の定理の利用　練習問題３・解答

３、次の図のように、長方形ＡＢＣＤを対角線ＢＤで折り重ねて、点Ｃが移動した点をＥとします。

ＡＤとＢＥの交点をＦとしたとき、ＡＢ＝３ｃｍ、ＢＤ＝６ｃｍとします。

次の問いに答えてください。

（１）∠ＦＤＥの大きさを求めてください。

△ＥＤＦと△ＡＢＦは合同な三角形になります。

△ＥＤＦ≡△ＡＢＦ

△ＡＢＤと△ＡＦＢは相似の関係になりますから、

△ＡＢＤ∽△ＡＦＢ

次に△ＡＢＤと△ＣＤＢは合同な三角形になりますから、

△ＣＤＢの斜辺をＢＤ＝6ｃｍ、底辺をＣＤ＝3ｃｍ、高さをＢＣと考え、

同じ直角三角形を2つ合わせると、3辺の長さが同じ三角形になりますから、

この三角形は正三角形になります。正三角形の1つの内角は６０゜ですから、

∠ＢＤＣ＝６０゜ということがわかります。

（△ＣＤＢ≡△ＡＢＤ）∽（ＡＦＢ≡ＥＤＦ）となります。

これにより、

∠ＢＤＣ＝６０゜＝∠ＤＢＡ＝∠ＢＦＡ＝∠ＤＦＥ

となります。

∠ＤＢＣ＝180゜−（∠ＤＣＢ＋∠ＢＤＣ）

∠ＤＣＢ＝90゜

∠ＢＤＣ＝６０゜

∠ＤＢＣ＝180゜−（90゜＋６０゜）

∠ＤＢＣ＝30゜

（△ＣＤＢ≡△ＡＢＤ）∽（ＡＦＢ≡ＥＤＦ）ですから

∠ＤＢＣ＝30゜＝∠ＢＤＡ＝∠ＦＢＡ＝∠ＦＤＥ

答え　30゜

（２）ＤＦの長さを求めてください。

ＤＦの長さは、ＡＤの長さからＡＦのながさをひけばわかります。

ＡＤの長さは、直角三角形ＡＤＢの直角を挟む長い辺になります。

辺ＡＢ（直角を挟む短い辺）＝3ｃｍ

辺ＡＤ（直角を挟む長い辺）＝χ?

辺ＢＤ（斜辺）＝6ｃｍ

三平方の定理を利用します。

（直角を挟む長い辺）²＋（直角を挟む短い辺）²＝（斜辺）²

χ²＋３²＝６²

χ²＋９＝３６

χ²＝３６−９

χ²＝２７

χ＝±√２７＝±３√３（χは＋ですから）

χ＝3√3?

辺ＡＤ＝3√3?

△ＡＢＤ∽△ＡＦＢですから、

ＡＢ：ＡＤ＝ＡＦ：ＡＢ

ＡＢ＝3ｃｍ

ＡＤ＝3√3ｃｍ

ＡＦ＝χ?

< span style="background-color: #ffcc99;">３：3√3＝χ：３

3×3＝3√3×χ

９＝3√3χ

9／3√3＝3√3χ／3√3

χ＝3／√3

χ＝3√3／√3×√3

χ＝3√３／３＝√3

ＡＦ＝√3?

ＡＤ−ＡＦ＝ＤＦ

ＡＤ＝3√3ｃｍ

ＡＦ＝√3?

3√3−√3＝２√3

答え　２√３?