練習問題3(方程式の利用3)解等・解説

(1)　兄と弟がある池の周りの道を同じ向きに走っています。弟がスタート地点を

　　通過してから3分後に兄がスタート地点を通過しました。弟が分速120m、兄が

　　分速140ｍで走っているとき、兄がスタート地点を通過してから何分後に弟に

　　追いつくのか求めてください。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇀　⇀　⇀　⇀
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↗　　　　　　    　↘
整理して考えましょう　　　　　　　　　　↗　　　　　　　　　　 ↘
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑　　　　　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　　　　　                      　↑　　　　　　　        　↓
　　　　　　　　　　　                      　　　 ↖                         ↙
　　　　　　　　　　　　　　                         　↖　　　　　　　↙
　　　　　　　　　　　　　　　                            　↖　　　　↙　
　　　　　　　　　　　　　　　　                             　← ← （スタート地点)

　この池の周りの図？を直線にしてみましょう。

　(スタート地点)←　←　←　←　←　←　←　←　←　(スタート地点)　

　　このような図になります。

　　まずは、弟から考えていきましょう

　　　弟は、分速120mで3分間進むのですから、道のりを出す式にあてはめて

　進んだ、距離をまず考えます。

　　道のり＝速さ×時間

　　　　　＝120(m)×3(分)　

　　　　　＝360(m)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　●(弟)⇐　⇐　⇐
　(スタート地点)←　←　←　←　←　←　←　←　←　(スタート地点)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　[360(m)]　　　　　[0(m)]
　　
　　追いつくということは、同じ距離を進んだということですから、

　　道のりを出す式で、時間は同じ時間経過しますから、(時間)＝χで表します。

　　 (弟の道のり)　　　　 (兄の道のり)
　　　速さ×時間＝道のり＝速さ×時間

　　　の等式をつくればいいということがわかります。

　　弟は、すでに360m進んでいますから、その分加えるのを忘れないように

　してください。

　　弟の進んだ道のりは、

　　　(道のり)＝(速さ)×(時間)

　　　　　　　＝　120(m)×χ(分)　　　

　　これは兄と同時に進んだ距離ですから、

　　　　　　弟がすでに進んだ道のりを付け加えます　　　

　　　　(120χ＋360)m

　　つぎに兄を考えます。

　　兄は、すでに進んだ距離は、ないのでそのまま

　　　(道のり)＝(速さ)×(時間)

　　　　　　　＝140(m)×χ(分)

　　　　　　　＝140χ(m)

　兄と弟が進んだ道のりがわかりましたから、等式でつなげます。

　　(弟が進んだ道のり)＝(兄が進んだ道のり)

　　　　(120χ＋360)m＝(140χ)m

　　求めているのは、何分後に追いつくかですから、χを時間にしていますから

　　1次方程式の解を求めれば、何分後に同じ道のりを、同じ時間で進んだか、が

　わかります。言い方を変えれば、何分後に追いつくか、になります。

　　　それでは、解を求めましょう。

　　120χ＋360＝140χ

　　左辺と右辺を入れ替えます

　　　140χ＝120χ＋360

　　右辺の120χを移項して符号を変えます

　　　140χ−120χ＝360

　　　　　　20χ＝360

　　　両辺に1/20をかけます

　　　　　　1/20×20χ＝1/20×360

　　　　　　　　χ＝18

　　　χは、時間ですから13分となります。

　　　答え　18分後

(2)　ふもとから山頂まで、分速60mで登るのと、同じ道を山頂からふもとまで、

　　分速100mで下るのとでは、かかる時間が40分違います。ふもとから山頂まで

　　何mあるか、求めてください。

　　
　　まずは、図にして考えましょう。

　　　　　　　　　　　山頂
　　　　　　　　　　　↗　↘
　　　　　　　　　　↗　　　↘
　　　　　　　　　↗　　　　　↘
　　　　　　　　↗　　　　　　　↘
　　ふもと　↗　　　　　　　　　↘　ふもと

　この図を、直線にします

　　
　　　ふもと→　→　→山頂→　→　→　ふもと

　　わかっているのは、速さ、と時間ですからわかっていないのは道のりになります。

　　道のりは、のぼりも下りも同じ距離ですからχで表すことができますから、

　　道のりをχとして考えましょう。　　

　　　時間は登りと下りでは、登りのほうが下りより40分余分に時間がかかった

　　のですから、時間を等式で表した場合は、登りには40(分)を引き、下りでは

　　40(分)を加えれば等式が成り立ちます。

　　　(登りの時間)＝(下りの時間)

　?(登りの時間−40(分))＝(下りの時間)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＞どちらでもいい　
　?(登りの時間)＝(下りの時間＋40(分))

　　それでは時間を表す式にあてはめてみましょう

　　(時間)＝(道のり)÷(速さ)　　　
　　

　　道のりは、χで表します。

　まずは、登りから考えましょう。

　　(時間)＝χ÷60

　　　で時間はわかります、そして下りより40(分)余分にかかるのですから

　　(登りの時間)＝(χ÷60)−40(分)

　　　つぎに下りの時間を考えましょう。

　　(下りの時間)＝χ÷100(分)

　　(登りの時間)と(下りの時間)を等式で表します。

　　(χ÷60)−40(分)＝χ÷100(分)

　　分数で表しましょう。

　　(χ/60)−40＝χ/100

　　求めているのは、ふもとから山頂までの道のりになりますから、χがわかれば

　　道のりがわかりますので、(χ/60)−40＝χ/100の解を求めます。

　　(χ/60)−40＝χ/100

　　左辺と右辺を変えます

　　χ/100＝(χ/60)−40

　　分母をそろえます

　　6(χ/100)＝10(χ/60)-40

　　6χ/600＝(10χ/600)-40

　右辺の(10χ/600)を移項して符号を変えます。

　　(6χ/600)−(10χ/600)＝−40

　　　−4χ/600＝-40

　　両辺に−600をかけます

　　(−600)×(−4χ/600)＝(−600)×(−40)

　　　　4χ＝24000

　　　両辺に1/4をかけます

　　　(1/4)×4χ＝(1/4)×24000

　　　　　　χ＝6000

　　これで、道のりがわかりました。

　　単位はメートルですから、ふもとから山頂までの距離は6000m

　　　答え　6000(m)