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練習問題3(方程式の利用3)解等・解説

練習問題3(方程式の利用3)解等・解説


(1) 兄と弟がある池の周りの道を同じ向きに走っています。弟がスタート地点を


  通過してから3分後に兄がスタート地点を通過しました。弟が分速120m、兄が


  分速140mで走っているとき、兄がスタート地点を通過してから何分後に弟に


  追いつくのか求めてください。


                             ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
                          ↗           ↘
  整理して考えましょう           ↗             ↘
                        ↑            ↓
                                    ↑                ↓
                                     ↖                         ↙
                                        ↖         ↙
                                            ↖    ↙ 
                                              ← ← (スタート地点)


 この池の周りの図?を直線にしてみましょう。



 (スタート地点)← ← ← ← ← ← ← ← ← (スタート地点) 


  このような図になります。


  まずは、弟から考えていきましょう


   弟は、分速120m3分間進むのですから、道のりを出す式にあてはめて


 進んだ、距離をまず考えます。


  道のり速さ×時間


     =120(m)×3(分) 


     =360(m)
                    


                        ●(弟)⇐ ⇐ ⇐
 (スタート地点)← ← ← ← ← ← ← ← ← (スタート地点) 
                              [360(m)]     [0(m)]
  
  追いつくということは、同じ距離を進んだということですから、


  道のりを出す式で、時間は同じ時間経過しますから、(時間)=χで表します。


   (弟の道のり)        (兄の道のり)
   速さ×時間=道のり=速さ×時間


       の等式をつくればいいということがわかります。


  弟は、すでに360m進んでいますから、その分加えるのを忘れないように


 してください。


  弟の進んだ道のりは、


   (道のり)=(速さ)×(時間)


       = 120(m)×χ(分)   


  これは兄と同時に進んだ距離ですから、


      弟がすでに進んだ道のりを付け加えます   


    (120χ+360)m


  つぎに兄を考えます。


  兄は、すでに進んだ距離は、ないのでそのまま


   (道のり)=(速さ)×(時間)


       =140(m)×χ(分)


       =140χ(m)


 兄と弟が進んだ道のりがわかりましたから、等式でつなげます。


  (弟が進んだ道のり)=(兄が進んだ道のり)


    (120χ+360)m=(140χ)m


  求めているのは、何分後に追いつくかですから、χを時間にしていますから


  1次方程式の解を求めれば、何分後に同じ道のりを、同じ時間で進んだか、が


 わかります。言い方を変えれば、何分後に追いつくか、になります。


   それでは、解を求めましょう。


  120χ+360=140χ


  左辺と右辺を入れ替えます


   140χ=120χ+360


  右辺の120χを移項して符号を変えます


   140χ−120χ=360


      20χ=360


   両辺に1/20をかけます


      1/20×20χ=1/20×360


        χ=18


   χは、時間ですから13分となります。



   答え 18分後


 


(2) ふもとから山頂まで、分速60mで登るのと、同じ道を山頂からふもとまで、


  分速100mで下るのとでは、かかる時間が40分違います。ふもとから山頂まで


  何mあるか、求めてください。


  
  まずは、図にして考えましょう。


 


           山頂
           ↗ ↘
          ↗   ↘
         ↗     ↘
        ↗       ↘
  ふもと ↗         ↘ ふもと



 この図を、直線にします


  
   ふもと→ → →山頂→ → → ふもと


  わかっているのは、速さ、と時間ですからわかっていないのは道のりになります。


  道のりは、のぼり下り同じ距離ですからχで表すことができますから、


  道のりをχとして考えましょう。  


   時間登り下りでは、登りのほうが下りより40分余分に時間がかかった


  のですから、時間を等式で表した場合は、登りには40(分)を引き下りでは


  40(分)を加えれば等式が成り立ちます。



   (登りの時間)=(下りの時間)


 ?(登りの時間−40(分))=(下りの時間)
                                      >どちらでもいい 
 ?(登りの時間)=(下りの時間+40(分))


  それでは時間を表す式にあてはめてみましょう


  (時間)=(道のり)÷(速さ)   
  


  道のりは、χで表します。


 まずは、登りから考えましょう。


  (時間)=χ÷60


   で時間はわかります、そして下りより40(分)余分にかかるのですから


  (登りの時間)=(χ÷60)−40(分)


   つぎに下りの時間を考えましょう。


  (下りの時間)=χ÷100(分)



  (登りの時間)と(下りの時間)を等式で表します。


  (χ÷60)−40(分)χ÷100(分)


  分数で表しましょう。


  (χ/60)−40=χ/100


  求めているのは、ふもとから山頂までの道のりになりますから、χがわかれば


  道のりがわかりますので、(χ/60)−40χ/100の解を求めます。


  (χ/60)−40=χ/100


  左辺と右辺を変えます


  χ/100=(χ/60)−40


  分母をそろえます


  6(χ/100)=10(χ/60)-40


  6χ/600=(10χ/600)-40


 右辺の(10χ/600)を移項して符号を変えます。


  (6χ/600)−(10χ/600)=−40


   −4χ/600=-40


  両辺に−600をかけます


  (−600)×(−4χ/600)=(−600)×(−40)


    4χ=24000


   両辺に1/4をかけます


   (1/4)×4χ=(1/4)×24000


      χ=6000


  これで、道のりがわかりました。


  単位はメートルですから、ふもとから山頂までの距離は6000m


 


   答え 6000(m)



 

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