中学1年数学　立体の表面積と体積　練習問題2　解答・解説

次の文、または展開図で表された立体の表面積を求めてください。

（１）底面の半径が4cm、母線の長さが6?の円錐。

　　まずは、展開図で考えましょう。

表面積は、三角錐の場合、底面の円の面積と側面のおうぎ形の面積になります。

(三角錐の表面積)＝(底面の面積)＋(側面の面積)

　　?(底面の面積)＝(円の面積)

　　?(側面の面積)＝(おうぎ形の面積)

　(三角錐の表面積)＝(円の面積)＋(おうぎ形の面積)

　　　(円の面積)＝πγ²

　　　　　　　　＝(半径)×(半径)×π

　　　　　　　　＝4×4×π

　　　　　　　　＝16π?²

　　つぎに、おうぎ形の面積を考えます

　　おうぎ形の面積を求める式は

　　　(おうぎ形の面積)＝πγ²×中心角/360

　　　　　　　　　　　＝(半径)×(半径)×π×中心角/360

　　　おうぎ形の半径は、母線の長さになりますから、半径は6cmということがわかります

　　　　　　　　　　　＝6×6×π×中心角/360

　　　中心角は、底辺の円周の長さと、おうぎ形の弧の長さは等しくなっていますから

　　　(底辺の円周)＝(おうぎ形のこの長さ)　になります　　　　　　　　

　　　底辺の円周を求める式は

　　　(円周)＝2×(半径)×π

　　　おうぎ形の弧の長さを求める式は

　　　(弧の長さ)＝2πγ×中心角/360

　　　　　　　　＝2×(半径)×π×中心角/360

　　中心角を求めるのですから、中心角をχ゜と考えます。

　　　(円周)＝(弧の長さ)

　　2×(半径)×π＝2×(半径)×π×中心角/360

　　2×(半径)×π＝2×(半径)×π×χ゜/360

　　　底辺の円の半径は4cmで、おうぎ形の半径は母線の6cmになります

　　2×4×π＝2×6×π×χ゜/360

　　　になります。

　　8π＝12π×χ゜/360

　　両辺に360をかけます

　　360×8π＝12π×360×χ゜/360

　両辺に1/12πをかけます

　　　1/12π×360×8π＝1/12π×12π×360×χ゜/360

　　　　　　　240＝χ

　　　これで、おうぎ形の中心角がわかりました。

　それでは、側面のおうぎ形の面積を求めましょう。

　　おうぎ形の面積を求める式は。

　ｍ＝πγ²×中心角/360　でしたね

　　(おうぎ形の面積)＝(半径)×(半径)×π×中心角/360

　　　　おうぎ形の半径は、母線の長さになりますから、6cm

　　　　おうぎ形の中心角は、240゜　ですから　　

　　　　　　　　　　＝6×6×π×240/360

　　　　　　　　　　＝36π×2/3

　　　　　　　　　　＝24πcm²

　　　これで側面のおうぎ形の面積がわかりました。

　　円錐の表面積は

　　(円錐の表面積)＝(底面の面積)+(側面の面積)

　　　ですから、

　　(円錐の表面積)＝16π?²＋24πcm²

　　　　　　　　　＝40π?²

　　　答え　　40π?²

（２）正四角錐

　　図

　　　正四角錐の表面積は

　　　底面積＋側面積　になります。

　　　底面積は正四角錐ですから

　　　正方形になります。

　　　正方形の面積は、4辺の長さがそれぞれ等しくなりますから。

　　　1辺の長さが6cmですから。

　　　(正方形の面積)＝(1辺)×(1辺)

　　　　　　　　　　＝6cm×6cm

　　　　　　　　　　＝36cm²

　　　次に側面積を求めます。

　　側面積は、それぞれ等しい、4つの二等辺三角形になります。

　　(側面積)＝4×(二等辺三角形の面積)

　　三角形の面積を求める式は

　　(三角形の面積)＝(底辺)×(高さ)×1/2

　　　底辺は6cm　、高さは5cmですから

　　　　　　　　　＝6×5×1/2

　　　　　　　　　＝15?²

　　　これで、1つの面の三角形の面積がわかりましたから

　　(側面積)＝4×(二等辺三角形の面積)

　　　　　　＝4×15?²

　　　　　　＝60?²

　　　側面の面積もわかりました。

　　正四角錐の表面積は

　　　(正四角錐の表面積)＝(底面積)+(側面積)

　　　　　　　　　　　　＝36?²＋60?²

　　　　　　　　　　　　＝96?²

　　　答え　　96?²

（３）円錐

　図

　　　円錐の表面積の求め方は

　　　(円錐の表面積)＝(底面積)＋(おうぎ形の面積)

　　　になります。

　　　(底面積)＝(円の面積)

　　　(側面積)＝(おうぎ形の面積)

　　今回は底面の円の半径がわかりませんから。

　　わかっているおうぎ形の半径6cmで考えていきましょう

　　おうぎ形の面積は

　　　(おうぎ形の面積)＝πγ²×中心角/360

　　おうぎ形の半径は、6cm

　　中心角は、直線になりますから180゜になります

　　　　(おうぎ形の面積)＝(半径)×(半径)×π×中心角/360

　　　　　　　　　　　　＝6×6×π×180/360

　　　　　　　　　　　　＝36π×1/2

　　　　　　　　　　　　＝18π?²

　　になります。

　　次に円の面積を考えます

　　円の面積は、

　　(円の面積)＝πγ²

　　　　　　　＝(半径)×(半径)×π

　　半径がおうぎ形の弧の長さと、底面の円の円周の長さが等しくなります。

　　この円の周を求める式

　　(円周の長さ)＝2×(半径)×π

　　から、底面の円の半径がわかります。

　　それでは、おうぎ形の弧の長さから考えます。

　　　(おうぎ形の弧の長さ)＝2πγ×中心角/360

　　　　　　　　　　　　　＝2×(半径)×π×中心角/360

　　　おうぎ形の半径は6cm、おうぎ形の中心角は180゜

　　　　　　　　　　　　　＝2×6×π×180/360

　　　　　　　　　　　　　＝12π×1/2

　　　　　　　　　　　　　＝6πcm

　　これで、おうぎ形の弧の長さが6πcmとわかりました。

　　(おうぎ形の弧の長さ)＝(円周)

　　ですから

　　　(円周)＝6πcm

　　になります。

　　円周を求める式は

　　(円周の長さ)＝2×(半径)×π

　　ですから、

　　　　6πcm＝2×(半径)×π　　

　　になります。

　　　両辺に1/2をかけます

　　　　　1/2×6πcm＝1/2×2×(半径)×π

　　　　両辺に1/πをかけます

　　　　1/π×1/2×6πcm＝1/2×2×(半径)×1/π×π

　　　　　　　　　　3cm＝(半径)

　　　これで、底面の円の半径がわかりました

　　円の面積を求める式は

　　(円の面積)＝πγ²

　　　　　　　＝(半径)×(半径)×π

　　　半径は、3cmとわかりましたから

　　　　　　　＝3×3×π

　　　　　　　＝9πcm²

　　　　これで、底面の円の面積が9πcm²とわかりました。

　　　(円錐の表面積)＝(底面積)＋(おうぎ形の面積)　

　　ですから、

　　　　(円錐の表面積)＝9πcm²＋18π?²

　　　　　　　　　　　＝27πcm²

　　　　答え　27πcm²