中学３年数学　関数ｙ＝ａχ²の値の変化　練習問題７・解答

中学３年数学　関数ｙ＝ａχ²の値の変化　練習問題７・解答

７、図のように、放物線ｙ＝ａχ²と直線ｙ＝ｂχ−４が２点Ａ，Ｂで交わっています。点Ａ，Ｂのχ座標がそれぞれ−１，２であるとき、次の問いに答えてください。

（１）ａ、ｂの値を求めてください。

２つの点Ａ，Ｂをｙ＝ａχ²とｙ＝ｂχ−４で考えます。

ｙ＝ａχ²　に−１を代入します。

ｙ＝ａ１²

ｙ＝ａ

ｙ＝ａχ²　に２を代入します。

ｙ＝ａ２²

ｙ＝４ａ

ｙ＝ａχ²では(χ、ｙ)＝点Ａ（−１、ａ）点Ｂ（２、４ａ）

ｙ＝ｂχ−４　に−１を代入します。

ｙ＝ｂ（−１）−４＝−ｂ−４

ｙ＝ｂχ−４　に２を代入します。

ｙ＝ｂ２−４＝２ｂ−４

ｙ＝ｂχ−４では(χ、ｙ)＝点Ａ（−１、−ｂ−４）点Ｂ（２、２ｂ−４）

になります。

これで、２つの点Ａ，Ｂのｙ座標がでました。

点Ａ（ｙ＝ａ）　　　　点Ｂ（ｙ＝４ａ）　・・・?　
点Ａ（ｙ＝−ｂ−４）点Ｂ（ｙ＝２ｂ−４）・・・?

?，?を連立方程式にしてａ、ｂを求めます。

          ａ＝−ｂ−４
      ｛
         ４ａ＝２ｂ−４

（代入法）で考えます。

４×（−ｂ−４）＝２ｂ−４

−４ｂ−１６＝２ｂ−４

−４ｂ−２ｂ＝−４＋１６

−６ｂ＝１２

ｂ＝−１２/６

ｂ＝−２

ａ＝−ｂ−４にｂ＝−２を代入します。

ａ＝−（−２）−４

ａ＝２−４

ａ＝−２

答え　ａ＝−２、ｂ＝−２

（２）Ｏを通り、△ＯＡＢの面積を２等分する直線の式を求めてください。

△ＯＡＢの面積を２等分する直線とは、ＡＢの中点から点Ｏを結ぶ直線となります。

  まずは、(1)で点Ａ，点Ｂの座標がわかりますから、中点を考えます。

ｙ＝−２χ−４にχ＝−１、χ＝２を代入します。

ｙ＝−２×（−１）−４　、ｙ＝−２×２−４
＝２−４　　　　　　　、　　＝−４−４
＝−２　　　　　　　　、　　＝−８　

点Ａ（−１、−２）、点Ｂ（２、−８）となります。

点Ａ、点Ｂのχ座標の半分がχ座標の中点になります。
点Ａ、点Ｂのｙ座標の半分がｙ座標の中点になります。

       −１＋２    １           −２−８   −１０
       ――― ＝―      ､――――＝――＝−５
       ２           ２            ２          ２

(χ、ｙ)＝（１/２、−５）　が中点となります。

直線の式になりますから一次関数の式になります。原点Ｏを通りますから切片はありません。

ｙ＝ａχ　の式に(χ、ｙ)＝（１/２、−５）を代入します。

−５＝１/２ａ

１/２ａ＝−５

ａ＝２×（−５）

ａ＝−１０

傾き(ａ)が−１０とわかりましたから、ｙ＝ａχの式にあてはめます。

ｙ＝−１０χ

答え　ｙ＝−１０χ