中学３年数学 式の展開と因数分解 式の計算の利用 練習問題３・解答
３、次の問いに答えてください。
（１）連続する２つの奇数の２乗の差は，８の倍数になることを証明してください。
まずは，整数をｍとします。
そうすると奇数は、（２ｍ−１）になり、
連続する奇数ですから、（２ｍ＋１）になります。
２つの奇数の２乗とは、
（２ｍ−１）²、（２ｍ＋１）²になります。
２乗の差ですから
（２ｍ＋１）²ー（２ｍ−１）²
乗法公式を利用して展開します。
●（ａーｂ）²＝ａ²ー２ａb＋ｂ²
●（ａ＋ｂ）²＝ａ²＋２ａb＋ｂ²
〔答え〕
（２ｍ＋１）²＝（２ｍ）²＋２×（２ｍ）×１＋１²
（２ｍー１）²＝（２ｍ）²ー２×（２ｍ）×１＋１²
ですから、
{（２ｍ）²＋２×（２ｍ）×１＋１²}ー{（２ｍ）²ー２×（２ｍ）×１＋１²}
＝（４ｍ²＋４ｍ＋１）ー（４ｍ²ー４ｍ＋１）
＝４ｍ²＋４ｍ＋１ー４ｍ²＋４ｍー１
＝４ｍ²ー４ｍ²＋４ｍ＋４ｍ＋１ー１
＝８ｍ
となり、ｍは整数になりますから、
８×（整数）
になり、
整数の８倍になります。
（２）連続する３つの自然数のそれぞれの２乗の和から５を引くと，最大の数と最小の数の積の３倍になることを証明してください。
まずは，元になる自然数をｎとします。
連続する３つの自然数ですから、
（ｎ）、（ｎ＋１）、（ｎ＋２）となります。
３つの自然数にそれぞれ２乗にするのですから、
（ｎ）²、（ｎ＋１）²、（ｎ＋２）² となり、
それぞれの和から５を引くのですから、
{（ｎ）²＋
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