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中学3年数学 関数y=ax² 2 まとめテスト3・解答

二次関数

中学3年数学 関数y=aχ² 2まとめテスト3・解答

3、図のように、放物線y=χ²と直線y=1/2χは原点と点Aで交わっています。
点Aから放物線上をχ座標が大きくなる方向に動く点をPとします。
さらに、点Pを通りχ軸に平行な直線と直線y=1/2χとの交点をSとします。
点P,Sからχ軸に垂線PQ、SRをそれぞれ引きます。このとき、次の問いに答えてください。

(1)Pのχ座標が2のとき、原点を通り、四角形PQRSの面積を2等分する直線の式を求めてください。

まずは点P,Q,R,Sの座標を求めます。

点Pのχ座標が2ですから、

y=χ²にχ=2を代入し点Pのy座標を求めます。

y=2²

y=

これで、点Pの座標(2、4)がわかり、点Qの座標は()となります。

点Sのy座標は点Pのy座標と同じですからy=1/2χにy=4を代入します。

4=1/2χ

8=χ

これで、点Sの座標、点Rの座標,0)がわかりました。

P(2、4)
Q(2,0)
R(8,0)
S(8,4)

次に考えるのは、四角形PQRSの面積を2等分する直線とは、2つの対角線交点になります。

χ座標は

8−2=6

6÷2=3

2+3=5

y座標は

4÷2=2

2つの対角線の交点の座標は(5,2)とわかります。

直線の式は右上がり原点を通りますから

y=aχ

この式に交点の座標χ=5、y=2を代入します。

2=5a

a=2/5

aは傾きですから

y=2/5χ

になります。

答え y=2/5χ

(2)点Pの位置により四角形PQRSは、正方形になるときがあります。
このとき、点Pの座標を求めてください。

点Pのy座標をとするとy=χ²に代入すると、χ座標はp²になります。

点Pp、p²)になります。

点Sのy座標は点Pのy座標と同じになりますから、

点Sのy座標はp²になります。

点Sのχ座標を求めるには、y=1/2χ にy=p²を代入します。

p²=1/2χ

χ=2p²

になります。

正方形になるにはPQとPSの長さが等しければいいということになります。

PQPS

PQの長さは点Pのy座標になりますからPQ=p²

PSの長さは点Sのχ座標から点Pのχ座標を引けばいいのですからPS2p²−pになります。

2つの式を連立方程式にします。

2p²−pp²

2p²−p²−p=0

p²−p=0

p(p−1)=0

A×B=0ならばA=0またはB=0になります。

p=0 、p−1=0

            、p=1

p=0は条件に(正方形)合いませんからp=1になります。

p=1ですから点Pのχ座標がとわかりましたから、

y=χ²の式にχ=1を代入します。

y=1²

y=1

点Pの座標は(1,1)になりました。

答え 点Pの座標は(χ、y)=(1,1)

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