中学３年数学　図形と相似　平行線と線分の比　２確認問題４・解答

中学３年数学　図形と相似　平行線と線分の比　２確認問題４・解答

４、次の図のように、ＡＤ//ＢＣ、ＡＤ＝３ｃｍ、ＢＣ＝１０ｃｍの台形ＡＢＣＤがあります。

対角線ＡＣ，ＤＢの交点をＥとします。また、ＡＣ、ＤＢの中点をそれぞれＦ，Ｇとし、

ＡＧの延長とＢＣとの交点をＨとします。このとき、次の問いに答えてください。

（１）線分ＢＨの長さを求めてください。

△AGD と△HGBで考えます。

仮定より　AD//BC になります。

これにより、∠DAG＝∠BHG（錯覚）・・・?

                 ∠ADG＝∠HBG（錯覚）・・・?

GD＝GB （仮定より）

よって、△AGD＝△HGB

となります。

∴AD＝BHですから

AD ＝３cm

BH ＝3cm

となります。

答え　3cm

（２）線分ＧＦの長さを求めてください。

△AHC と△AGFで考えます。

△AHC の底辺の長さ　HC＝（BC–BH)ですから

（１０?ー3cm）＝7cm＝HC

点Gは辺AHの中点 になり、

点Fは辺ACの中点 になりますから、

中点連結定理 を使います。

これにより、GF//HC 、GF＝１/２HC となります。

HC＝７cm ですから、

GF＝１/２×７

＝3.5?

答え　3.5?

（３）△ＡＧＥの面積をＳ、△ＤＥＣの面積をＴとするとき、ＳとＴの比を最も簡単な整数の比で表してください。

△AGEと△DECは相似の関係にはないので、相似の関係になる△を探します。

△AED をUとして考えます。

△EG Fと△EDAは

AD//GF ですから、

∠ADE＝∠FGE（錯覚）・・・?

∠DAE＝∠GFE（錯覚）・・・?

?，?より

2組の角がそれぞれ等しく なりますから

△EGF ∽△EDA

になります。

そして、辺ADの長さが３?で、

辺GFの長さが3.5?ですから

△EGF :△EDA＝3.5：３＝７：６

辺EG ：辺ED＝７：６ になります。

△AED をUにし△ＡＧＥはSですから、

S ：U＝７：６・・・?

となります。

つぎに、△AEDと△CEBで考えます。

仮定により、

AD//BC ですから

∠ADE＝∠CBE(錯覚）・・・?

∠DAE＝∠BCE(錯覚）・・・?

?，?より

2組のそれぞれの角が等しくなりますから

△AED∽△CEB

となります。

△CEBをVとすると、

AD＝3cm

BC＝１０cm

△AED：△CEB＝３：１０

AE：CE＝３：１０

となり、

U：V＝３：１０

∴　AE：CE＝３：１０

U：T＝３：１０・・・?

になります。

?，?より

S：U＝７：６

U：T＝３：１０

2つを比べるためにUを同じくらいにします。

S：U＝７：６

U：T＝６：２０

よって

S：T＝７：２０

になります。

答え　７：２０