中学3年数学　三平方の定理の利用　練習問題２・解答

中学3年数学　三平方の定理の利用　練習問題２・解答

２、次の問いに答えてください。

（１）１辺の長さが８ｃｍの正三角形の面積を求めてください。

頂角から底辺に垂線を引いた線（高さ）を求めれば正三角形の面積がわかります。

斜辺の長さを8cm

直角を挟む1つの辺の長さを4cm

もう一つの辺の長さをχ?とします。

正三角形 ですから1つの角が６０゜になりますから、90゜、60゜、30゜になります。

この場合の比率は１：２：√3＝（短い辺の長さ）：（斜辺の長さ）：（長い辺の長さ）

（短い辺の長さ）は４cm になり。

（斜辺の長さ）を８? になり。

（長い辺の長さ）をχ? で考えます。

２ ：√3＝（斜辺の長さ）：（長い辺の長さ）

２ ：√3＝８：χ

２ ×χ＝√３×８

２ χ＝８√３

χ ＝４√３

χ はこの正三角形の高さになりますから４√３?になります

三角形の面積 は

底辺＝８cm 、高さ４√３ｃｍ

８ ×４√３×１／２＝３２√３／２＝１６√３

正三角形の面積 は１６√３㎠とわかります。

答え　１６√３㎠

（２）１辺の長さが４ｃｍ、１つの対角線の長さが４ｃｍのひし形の面積を求めてください。

ひし形は４つの辺の長さが等しく なりますから、対角線の長さが４cmということは、

正三角形×２ となります。

正三角形の半分の直角三角形はその他の１つの角が６０゜になりますから、

比率は１：２：√3＝（短い辺の長さ）：（斜辺の長さ）：（長い辺の長さ）

になります。

（短い辺の長さ）＝２cm

（斜辺の長さ）＝４cm

（長い辺の長さ）＝χ? として考えます。

２ ：√3＝（斜辺の長さ）：（長い辺の長さ）

２ ：√3＝４：χ

２ ×χ＝√3×４

２ χ＝4√3

χ ＝2√3

OB の長さが2√3?とわかりましたから、ＢＤの長さは2√3×２＝4√3

ひし形の面積の求め方は（対角線）×（対角線）×1/2

対角線ＡＣ＝４cm

対角線ＢＤ＝4√3?

４ ×４√3×1/2＝16√３／２＝８√３

答え　８√３?

（３）対角線が６ｃｍ、８ｃｍであるひし形の１辺の長さを求めてください。

ひし形ですから二等辺三角形が2つあると考えます。

そしてこの二等辺三角形は2つの直角三角形からできています。

（短い辺の長さ）＝3ｃｍ

（斜辺の長さ）＝χ?

（長い辺の長さ）＝4ｃｍ

直角三角形の辺の長さは、

（直角を挟む長い辺の長さ）²＋（直角を挟む短い辺の長さ）²＝（斜辺の長さ）²

４²＋３²＝χ²

１６ ＋９＝χ²

２５＝χ²

χ ＝±５（χは＋になりますから）

斜辺の長さは５cm になります。

答え　５ｃｍ

（４）等しい辺の長さが７ｃｍ、底辺の長さが１０ｃｍの二等辺三角形の面積を求めてください。

三角形の面積を求めるための高さがさわかりませんから、

頂角から底辺に向けて垂線を引きます。

そうすると、２つの直角三角形になります。

この直角三角形の高さを５cm

斜辺を７ｃｍ

底辺をχ?として考えます。

直角三角形の辺の長さは、

（直角を挟む長い辺の長さ）²＋（直角を挟む短い辺の長さ）²＝（斜辺の長さ）²

５²＋χ²＝７²

２５＋χ²＝４９

χ²＝４９−２５

χ²＝２４

χ＝±√２４（χは＋ですから）

χ＝√２４＝２√６

χは二等辺三角形の高さになりますから２√６?、底辺の長さが１０?になります。

１０×２√６×１／２＝２０√６／２＝１０√６

答え　１０√６㎠