中学２年数学　平面図形　平行四辺形の性質　確認問題６・解答

中学２年数学　平面図形　平行四辺形の性質　確認問題６・解答

６、線分ＡＣ上に点Ｂがあります。図のようにひし形ＫＡＢＬとひし形MＢＣＮをつくります。∠KＡＢ＝60°とするとき、△ＡＢM≡△ＫＢＣであることを証明してください。

△ＡＢMと△ＫＢＣにおいて

仮定により

ＡＢＬKとMＢＣＮは平行四辺形になります。

ゆえに、

ＡＢ＝KＬ＝ＡK＝ＢＬ・・・①

ＢM＝ＣＮ＝MＮ＝ＢM・・・②

∠KＡＢ＝∠KＬＢ・・・③

∠ＡＢＬ＝∠ＡKＬ・・・④

∠ＣＢM＝∠ＣＮM・・・⑤

∠ＢMＮ＝∠ＢＣＮ・・・⑥

△ＡＢKについて考えます。

辺ＡK＝辺ＡＢは①によりわかっていますから、

二等辺三角形ということがわかります。

仮定により∠ＡKＢ＝60°ですから、二等辺三角形の底角は残りの120°ということになります。

底角の２つの角は等しくなりますから、120°÷２＝60°ということになり

△ＡＢKは正三角形ということがわかりました。

これにより、辺ＡＢ＝辺KＢ・・・⑦

△ＡＢKと△ＬＢKは、

①、②より

２つの辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから

△ＡＢK≡△ＬＢK

となります。

合同な三角形の対応する角はそれぞれ等しくなりますから

∠KＡＢ＝∠ＡＢK＝∠ＡKＢ＝∠ＬＢＫ＝∠ＬＫＢ＝∠KＬＢ

正三角形ですから、すべての角が60°になります。

∠ＡＢＬ＝∠ＡＢK＋∠KＢＬ

∠ＡＢＬ＝60°＋60°

∠ＡＢＬ＝12０°・・・⑧

∠MＢＣは、ＡＢＫＬが平行四辺形ですから、ＡK//ＢＬ

になります。

∠KＡＢと∠MＢＣは同位角により

∠KＡＢ＝∠MＢＣ・・・⑨

∠ＫＢＣ＝∠KＢＬ＋∠MＢＣ

∠ＫＢＣ＝60°＋60°

∠ＫＢＣ＝120°・・・⑩

∠ＡＢＬ＝∠ＫＢＣ・・・⑪

②、⑦、⑪より

２つの辺とその間の角がそれぞれ等しくなりますから

△ＡＢM≡△ＫＢＣ

になります。