中学3年数学　変化の割合の計算、交点の座標　練習問題1・解答

中学3年数学　変化の割合の計算、交点の座標　練習問題1・解答

１、図で、点Ｐ，Ｑは関数ｙ＝ａχ²のグラフと直線ℓとの交点になります。

点Ｒは直線ℓとｙ軸との交点になり、ｙ軸の正の部分で交わっています。

Ｐ（２，８）であり、△ＯＰＲと△ＯＱＲとの面積の比は２：１になります。

このとき、次の問いに答えてください。

（１）ａの値を求めてください。

  　ｙ＝ａχ²の式のＰの座標（２，８）を代入します。

８＝2²ａ

4ａ＝８

ａ＝８/４

ａ＝２

答え　ａ＝２

（２）この関数について、χの値が−1から２まで増加するときの変化の割合を求めてください。

関数ｙ＝ａχ²の変化の割合

χの値がｐからｑまで増加するとき、

変化の割合＝ａ（ｐ＋ｑ）

で求めることができます。

この関数 ｙ＝２χ²の係数は2とわかりましたから。このグラフの式は

ｙ＝2χ² となります。

この式を使い変化の割合を考えていきます。

２（−１＋２）＝（変化の割合）

2×１＝２　

変化の割合は２となります。

答え　２

（３）△ＯＰＱの面積を求めてください。

△ＯＰＲと△ＯＱＲの２つの３角形で考えます。

２つの三角形の底辺をＯＲとして考えると、

２つの三角形の底辺は同じになり、△ＯＰＲと△ＯＱＲの面積の比は２：１

ですから、２つの三角形の高さの比が２：１となります。

△ＯＰＲ高さはＰ座標のχの値になりますからχ＝２となります。

面積の比が２：１ですから△ＯＱＲの高さがχ＝−１で１となります。

次に底辺の長さを考えます。

底辺の長さは直線ℓの切片になります。

直線ℓの式はｙ＝ａχ＋ｂ

○関数ｙ＝ａχ²と2点で交わる直線の傾きは、その2点間の変化の割合に等しくなります。

よって、交点のχ座標がｐ、ｑのとき、直線の傾きはａ（ｐ＋ｑ）で求めることができます。

これにより、（２）でｙ＝ａχ²の変化の割合がわかりましたから、

直線ｙ＝ａχ＋ｂの傾きがわかります。

ｙ＝２χ＋ｂ

この式に点Ｐの座標を代入すると切片（ＯＲの長さ）がわかります。

８＝２×２＋ｂ

８＝４＋ｂ

ｂ＝８−４

ｂ＝４

ＯＲの高さは４とわかりました。

△ＯＰＲと△ＯＱＲの面積は（ＯＲ×２÷２）＋（ＯＲ×１÷２）

（４×２÷２）＋（４×１÷２）＝４＋２＝６

答え　６