中学3年数学　変化の割合の計算、交点の座標　確認問題1・解答

中学3年数学　変化の割合の計算、交点の座標　確認問題1・解答

１、図のように、関数ｙ＝χ²のグラフ上に２点Ａ，Ｂがあります。この２点を通る直線は

χ軸と点Ｐで交わるものとします。２点Ａ，Ｂのχ座標をそれぞれー３、ｔ（ｔ＞０）とし、

原点をＯとします。このとき、次の問いに答えてください。

（１）点Ａのｙ座標を求めてください。

点Ａのχの座標は−３ですから、ｙ＝χ²にχ＝−３を代入します。

ｙ＝（−３）²

＝９

答え　９

Ａ座標（−３，９）

（２）関数ｙ＝χ²について、χの値がー３から１まで増加するときの変化の割合を求めてください。

関数ｙ＝ａχ²の変化の割合は、χの値がｐからｑまで増加するとき、

変化の割合＝ａ（ｐ＋ｑ）で求めることができます。

１（−３＋１）＝１×−２＝−２

変化の割合は−２になります。

答え　−２

（３）χ＝１のとき、直線ＡＢの式を求めてください。

ｙ＝χ²にχ＝１を代入します。

ｙ＝１

直線の式はｙ＝ａχ＋ｂ ですから、

１＝１ａ＋ｂ

ｙ＝χ²の変化の割合と直線の傾きは等しくなりますから、（２）でｙ＝χ²の変化の割合は−２

ですから、直線１＝１ａ＋ｂの傾き（ａ）は−２となります。

１＝−２＋ｂ

ｂ＝１＋２

ｂ＝３

切片が３となります。

この直線の式は　ｙ＝−２χ＋３

答え　ｙ＝−２χ＋３

（４）関数ｙ＝χ²について、χの値がー３からｔまで増加するときの変化の割合が−３/２であるとき、

△ＯＰＡの面積を求めてください。

関数ｙ＝χ²の変化の割合が−３/２であるならば、ＡＢを結ぶ直線の式の傾きは−３/２であるということになり、

ｙ＝−３/２χ＋ｂ になります。

この直線の式に点Ａの座標（−３，９）を代入します。

９＝−３/２×（−３）＋ｂ

９＝９/２＋ｂ

ｂ＝９−９/２

ｂ＝１８/２−９/２

ｂ＝９/２

切片が９/２ とわかり、この式は

ｙ＝−３/２χ＋９/２

になります。

つぎに、点Ｐの座標を考えます。

直線のｙ＝−３/２χ＋９/２にｙ＝０を代入します。

０＝−３/２χ＋９/２

−３/２χ＝−９/２

χ＝９/２×２/３

χ＝１８/６＝３

点Ｐ座標は（３，０）になります。

これで三角形ＯＰＡの底辺ＯＰ（点Ｐのχ座標３）で高さ点Ａのｙ座標（９）になり

３×９÷２＝２７/２

答え　２７/２

（５）点Ｂが線分ＡＰの中点であるとき、点Ｐのχ座標を求めてください。

まずは、点Ｂの座標を求めます。

放物線ＡＢの式はｙ＝χ² ですから

点Ｂのχ座標をｍとしたとき、ｙの座標は

ｙ＝（m）² になります。

これで、点Bの座標は（m、m²）になります。

そして、点Bは直線APの中点ですから、

               χの増加量                ｙの増加量
    χ座標＝―――― 、ｙ座標＝―――――
     &nbs
p;               ２                           ２

         −３＋ｐ          ９＋０
     m＝―――、m²＝―――
             ２               ２

            ９
    m²＝――
            ２

         √９     √９×√２     ３√２
   m＝――＝―――――＝――
         √２    √２×√２        ２

点Bの座標は（３√２/２、９/２）になります。

点Pのχの座標は、点Aのχ座標＋点Bのχ座標×２になります。

点Aのχ座標＝−３ （原点からの長さは３）

点Bのχ座標＝３√２/２ （原点からの長さは３√２/２）

     ３＋３√２
     ――――×２＝３＋３√２
         ２

点Pのχ座標は３＋３√２になります。

答え　３＋３√２