中学２年数学 平面図形 ２まとめテスト3・解答
３、長方形ＡＢＣＤの辺ＤＡ上に点Ｐをとり、ＢＰの延長とＣＤとの交点をＱとします。このとき、△ＰＱＡと△ＣＤＰの面積が等しいことを証明してください。
この問題は、△ＰＱＡと△ＣＤＰの面積が等しいことを証明しますが、
この形のままでは、証明しづらいので少し形を変えて考えていきます。
まず考えなければいけないのは、三角形の面積ですから、底辺×高さ÷２の形にしなければならないので、
△ＡＱＢを基にして考えていきます。
この場合は、底辺をＡＢとしたときに、高さはＢＣになります。
つぎに、△ＰＤＣについて考えます。
対角線、点Ｄと点Ｂを直線でつなぐと、ＰＤが共通になります。
ＡＤとＢＣは長方形ですから平行になります。
平行線の性質で、
ＡＤ//ＢＣならば、△ＰＤＢ＝△ＰＤＣになります。
これで、△ＡＢＤと△ＡＢＱについて考えることができます。
△ＡＢＤの面積は底辺ＡＢ、高さＢＣになり、
△ＡＢＱ＝ＡＢ×ＢＣ÷２
△ＡＢＤ＝ＡＢ×ＢＣ÷２
△ＡＢＰは共通ですから
残りの、△ＡＱＰと△ＢＰＤは同じ面積になります。
よって、
△ＰＱＡ≡△ＣＤＰ
になります。
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