中学３年数学　図形と相似　平行線と線分の比　練習問題１２・解答

中学３年数学　図形と相似　平行線と線分の比　練習問題１２・解答

１２、次の図のＡＤ//ＢＣの台形で、２つの対角線ＢＤ，ＡＣの中点をＰ，Ｑとすると、

ＰＱ＝１／２（ＢＣ−ＡＤ）となります。このことを証明してください。

答え

[証明]

辺ＡＢの中点をＭとします。

△ＡＢＣ で、Ｍ，Ｑはそれぞれ２辺ＡＢ，ＡＣの中点ですから、

ＭＱ//ＢＣ

           １
ＭＱ＝――ＢＣ
           ２

辺ＡＢの中点をＭ とします。

△ＡＢＤ で、Ｍ，Ｐはそれぞれ２辺ＡＢ，ＢＤの中点ですから、

ＭＰ//ＡＤ

          １
ＭＰ＝――ＡＤ
          ２

ＡＤ//ＢＣ ですから、

ＭＱ，ＭＰ はともにＢＣに平行ですから

ＭＰＱ は直線になります。

よって、

ＰＱ ＝ＭＱ−ＭＰ

ＭＱ ＝１/２ＢＣ

ＭＰ＝１/２ＡＤ

ＰＱ＝（１/２ＢＣ）−（１/２ＡＤ）

＝ＢＣ／２−ＡＤ／２

＝ＢＣ−ＡＤ／２

になり、

ＰＱ＝１／２（ＢＣ−ＡＤ）

と証明できます。