中学3年数学　図形と相似　平行線と線分の比　３確認問題1・解答

中学3年数学　図形と相似　平行線と線分の比　３確認問題1・解答

１、次の図は、長方形ＡＢＣＤの紙片を、頂点Ｄが辺ＢＣ上の点Ｅに重なるように、

線分ＡＦを折り目として折ったときの図になります。このとき、次の問いに答えてください。

（１）△ＡＢＥ∽△ＥＣＦであることを次のように証明しました。［　　］ａ～ｃをうめて

証明を完成してください。

［証明］

△ＡＢＥと△ＥＣＦで、

四角形ＡＢＣＤは長方形ですから、

∠［ａ　　　］＝∠ＥＣＦ・・・?

∠ＡＥＣは△ＡＢＥの頂点Ｅにおける［b ］だから、

∠ＡＥＣ＝∠［ａ　　　］＋∠ＢＡＥ・・・?

また、∠ＡＥＣ＝∠ＡＥＦ＋∠［c　　　］・・・?

ここで、∠［ａ　　　］＝∠ＡＥＦだから、

?，?より、∠ＢＡＥ＝∠［c　　　　］・・・?

?，?より、2組の角が、それぞれ等しいので、

△ABE∽△ECF

答え

［証明］

△ＡＢＥと△ＥＣＦで、

四角形ＡＢＣＤは長方形ですから、

∠［ａ・ＡＢＥ］＝∠ＥＣＦ・・・?

∠ＡＥＣは△ＡＢＥの頂点Ｅにおける［b・外角］だから、

∠ＡＥＣ＝∠［ａ・ＡＢＥ］＋∠ＢＡＥ・・・?

また、∠ＡＥＣ＝∠ＡＥＦ＋∠［c・ＣＥＦ］・・・?

ここで、∠［ａ・ＡＢＥ］＝∠ＡＥＦだから、

?，?より、∠ＢＡＥ＝∠［c・ＣＥＦ］・・・?

?，?より、2組の角が、それぞれ等しいので、

△ABE∽△ECF

ａ・ＡＢＥ、b・外角、c・ＣＥＦ

（２）元の長方形ＡＢＣＤの対角線ＢＤと線分ＡＢとの交点をＰとするとき、ＰＤ：ＰＢ＝ＦＤ：ＦＣ

であることを証明してください。

答え

［証明］

長方形ですから

ＡＤ//ＢＥ になります。

ですから、

ＰＤ：ＰＢ＝ＡＤ：ＥＢとなります。

△ＰＡＤ∽△ＰＥＢ になります。

つぎに、△ＡＥＦと△ＡＤＦは合同な三角形になりますから

ＡＥ＝ＡＤ

になり、ＰＤ：ＰＢ＝ＡＥ：ＥＢ・・・?

（１）より、△ABE∽△ECFですから、

ＡＥ：ＥＢ＝ＥＦ：ＦＣ・・・?

となります。

△ＡＥＦ＝△ＡＤＦ ですから

辺ＥＦと辺ＦＤは同じになります。

ＥＦ＝ＦＤ・・・?

?，?，?より

ＰＤ：ＰＢ＝ＦＤ：ＦＣ

となります。