中学３年数学　平方根　根号を含む式の計算　３確認問題３・解答

中学３年数学　平方根　根号を含む式の計算　３確認問題３・解答

３、次の問いに答えてください。

（１）χ＝√5ー２、ｙ＝√5＋２のとき、χ ²＋ｙ²の値を求めてください。

χ ²＋ｙ²にχ＝√5ー２、ｙ＝√5＋２を代入します。

（√5ー２）²＋（√5＋２）²

乗法公式を利用して展開をします。

（ａ＋b）²＝ａ²＋２ａｂ＋b ²

（ａーｂ）²＝ａ²ー２ａｂ＋b ²

（√5ー２）²＝（√5）²＋２×√5×（−２）＋（−２）²

＝５ー４√5＋４

＝9ー４√5

（√5＋２）²＝（√5）²ー２×√5×（−２）＋（−２）²

＝５＋４√5＋４

＝９＋４√5

（9ー４√5）＋（９＋４√5）＝9ー４√5＋９＋４√５

      　＝１８

答え　１８

（２）χ＝√３＋√２、ｙ＝√３ー√２のとき、χ ²ーχｙ＋ｙ²の値を求めてください。

χ ²ーχｙ＋ｙ²

＝χ ²＋ｙ²ーχｙ

乗法公式を利用し因数分解をします。

●χ ²＋ｙ²＝（χ＋ｙ）²ー２χｙ

χ ²＋ｙ²ーχｙ＝（χ＋ｙ）²ー２χｙーχｙ

＝（χ＋ｙ）²ー３χｙ

（χ＋ｙ）にχ＝√３＋√２、ｙ＝√３ー√２を代入します。

（√３＋√２）＋（√３ー√２）

＝√３＋√２＋√３ー√２

＝２√３

χｙにχ＝√３＋√２、ｙ＝√３ー√２を代入します。

（√３＋√２）（√３ー√２）

乗法公式を利用して展開をします。

（ａ＋b）（ａーｂ）＝ａ²ーｂ²

＝（√３）²ー（√２）²

＝３ー２

＝１

元の式は（χ＋ｙ）²ー３χｙで、

?（χ＋ｙ）＝２√３

?χｙ＝１

（２√３）²ー３×１

＝４×３ー３

＝１２ー３

＝９

答え　９

（３）χ＝３＋√５、ｙ＝３ー√5のとき、１／χ＋１／ｙの値を求めてください。

１／χ＋１／ｙ＝１×ｙ／χ×ｙ＋１×χ／ｙ×χ

   　　　＝ｙ／χｙ＋χ／χｙ

χ＋ｙにχ＝３＋√５、ｙ＝３ー√5を代入します。

（３＋√５）＋（３ー√５）

＝３＋√５＋３ー√５

＝６

χｙにχ＝３＋√５、ｙ＝３ー√5を代入します。

（３＋√５）×（３ー√５）

乗法公式を利用して展開をします。

（ａ＋b）（ａーｂ）＝ａ²ーｂ²

（３＋√５）×（３ー√５）＝３²ー（√５）²

                           ＝９ー５

                           　　＝４

ｙ／χｙ＋χ／χｙに（χ＋ｙ）＝６、χｙ＝４を代入します。

６／４＝３／２

答え　３／２

（４）χ＝２√３ー３、ｙ＝２√３＋３のとき、χ ²ー３χｙ＋ｙ²の値を求めてください。

＝χ²＋ｙ²ー３χｙ

乗法公式を利用して因数分解をします。

χ²＋ｙ²＝（χ＋ｙ）²ー２χｙ

χ²＋ｙ²ー３χｙ＝（χ＋ｙ）²ー２χｙー３χｙ

＝（χ＋ｙ）²ー５χｙ

（χ＋ｙ） で考えます。

χ＋ｙに２√３ー３、ｙ＝２√３＋３を代入します。

（２√３−３）＋（２√３＋３）

＝２√３ー３＋２√３＋３

＝４√３

χｙで考えます。

χｙに２√３ー３、ｙ＝２√３＋３を代入します。

（２√３ー３）（２√３＋３）

乗法公式を利用し展開をします。

（ａ＋b）（ａーｂ）＝ａ²ーｂ²

（２√３ー３）（２√３＋３）＝（２√３）²ー３²

                             ＝４×３ー９

                             ＝１２ー９

                             ＝３

元の式（χ＋ｙ）²ー５χｙに（χ＋ｙ）＝４√３，χｙ＝３を代入します。

（４√３）²ー５×３

＝１６×３ー１５

＝４８ー１５

＝３３

答え　３３