中学２年数学　図形の調べ方　２まとめテスト７・解答

中学２年数学　図形の調べ方　２まとめテスト７・解答

７、直角三角形ＡＢＣの直角の頂点Ａから辺ＢＣに垂線ＡＨを引きます。∠ＡＢＣの二等分線とＡＨ、ＡＣとの交点をＤ、Ｅとし、ＤからＡＣに平行な直線を引き、ＢＣとの交点をＦとするとき、ＤＡ＝ＤＦを証明してください。

答え

〔証明〕

△ＡＢＤと△ＦＢＤにおいて

仮定により

∠ＡＢＤ＝∠ＦＢＤ・・・①

ＢＤ共通・・・②

∠ＢＤＡは、△ＢＨＤの∠ＤＢＨと∠ＤHBの外角になります。

∠ＢＤＡ＝∠ＤＢＨ＋∠ＤHB

＝∠Ｂ×1／2＋90°

∠ＢＤＦは、

仮定より、ＡＣ//ＤＦ

同位角より、

∠ＢＤＦ＝∠ＢＥＣ

∠ＢＥＣは、△ＡＢＥの∠ＡＢＥと∠ＥＡＢの２つの内角の外角になります。

∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＥ＋∠ＥＡＢ

＝∠Ｂ×1／2＋90°

このことから、

∠ＢＤＡ＝∠ＢＥＣ・・・③

①、②、③より

１つの辺と両端の角がそれぞれ等しくなりますから、

よって、

△ＡＢＤ≡△ＦＢＤ

合同な三角形の対応する辺はそれぞれ等しくなりますから、

辺ＡＤ＝辺ＤＦ

になります。